专题13 隐圆（含阿氏圆）求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题13 隐圆（含阿氏圆）求最值问题 1．（2020·北京市中考模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内一动点，且满足，是线段的中点，连结．则线段的最大值是（ ）． A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】 解方程x2−8x＋15＝0得A（3，0），利用抛物线的性质得到C点为AB的中点，再根据圆周角定理得到点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（−4，0），接着计算出AQ＝5，⊙Q的半径为2，延长AQ交⊙Q于F，此时AF的最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线性质得到CM＝AP，从而得到CM的最大值． 【详解】 解方程x2−8x＋15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0）， ∵抛物线的对称轴与x轴交于点C， ∴C点为AB的中点， ∵∠DPE＝90°， ∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（−4，0）， AQ＝＝5，⊙Q的半径为2， 延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2＋5＝7， 连接AP， ∵M是线段PB的中点， ∴CM为△ABP为中位线， ∴CM＝AP， ∴CM的最大值为． 故选：C． 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理． 2．（2021·天津河北·中考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （I）求抛物线的解析式及顶点坐标； （II）为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点，连接，当线段时，求点的坐标； （III）以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值． 【答案】（I），抛物线的顶点坐标为；（II）点的坐标为；（III）的最小值为． 【分析】 （1）根据对称轴公式可求得抛物线的解析式，再写出顶点坐标即可 （2）先写出A、B、C的坐标再写出直线BC的解析式，利用两点之间的距离公式列方程即可求解; (3)先证明，再由当，，三点共线时，的值最小，最小值即为的值，利用勾股定理即可 【详解】 （I）∵ ，， ∴． ∴抛物线的解析式为 ． ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （II）连接，过点作于点， ∵，令，则， ∴． 令，即， 解得，． ∴，． 设直线的解析式为， 将，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． ∵点在抛物线上，点在上，轴， ∴设点的坐标为，点坐标为， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 当时，， ∴点的坐标为． （III）如图，连接，在上截取， 使得， 连接，，此时，． ∵，， ∴． ∴，即． ∴． ∴当，，三点共线时，的值最小，最小值即为的值． ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查抛物线解析式及顶点坐标、有抛物线的对称轴，相似三角形、最值问题、勾股定理，一元二次方程，熟练进行等角的转换是关键 3．（2021·河南·中考试题研究）如图，直线：与轴，轴分别相交于、两点，抛物线过点． （1）该抛物线的函数解析式； （2）已知点是抛物线上的一个动点并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值； （3）在（2）的条件下，当取得最大值时，动点相应的位置记为点． ①写出点的坐标； ②将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点，设点，到直线的距离分别为，，当最大时，求直线旋转的角度（即的度数）． 【答案】（1）；（2），S的最大值为；（3）①，；②45° 【分析】 （1）利用直线的解析式求出点坐标，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值； （2）设的坐标为，然后根据面积关系将的面积进行转化； （3）①由（2）可知，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值； ②可将求最大值转化为求的最小值． 【详解】 解：（1）令代入， ， ， 把代入并解得：， 二次函数解析式为：； （2）令代入， ， 或3， 抛物线与轴的交点横坐标为和3， 在抛物线上，且在第一象限内， ， 令代入， ， 的坐标为， 由题意知：的坐标为， ， 当时，取得最大值． （3）①由（2）可知：的坐标为，； ②过点作直线，过点作于点， 根据题意知：， 此时只要求出的最大值即可， ， 点在以为直径的圆上， 设直线与该圆相交于点， 点在线段上， 在上， 当与重合时， 可取得最大值， 此时， ，，，， 由勾股定理可求得：，，， 过点作于点， 设， 由勾股定理可得：， ， ， ， ，， ， ∴． 【点睛】 本题属于二次函数的综合问题，考查待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目．