专题12 胡不归求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题12 胡不归求最值问题 1．（2021·江苏·苏州市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 【答案】A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3）， ∴c＝﹣3， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，1）， ∴OD＝1，BD＝4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴DP+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 2．（2021·广东·广州九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为D，且与轴分别交于A、B两点（点A在点B的左边），P为抛物线对称轴上的动点，则的最小值是_____ 【答案】 【分析】 先把抛物线的解析式化为顶点式，则有点D的坐标为，假设对称轴与x轴的交点为C，连接BD，过点P作PH⊥BD于点H，过点A作AM⊥BD于点M，根据题意易得BC=3，，由勾股定理可得BD=6，进而可得∠CDB=30°，则，所以把求的最小值转化为求的最小值，最后由点A、P、H三点共线时取最小，即为AM的长，则问题可求解． 【详解】 解：由抛物线可得， ∴点D的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为， 假设对称轴与x轴的交点为C，连接BD，过点P作PH⊥BD于点H，过点A作AM⊥BD于点M，如图所示： ∴AB=6，BC=3，， 在Rt△DCB中，， ∴∠BDC=30°，∠DBC=60°， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴当点A、P、H三点共线时有最小值，即为AM的长， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 【点睛】 本题主要考查二次函数的几何综合及三角函数，关键是由“胡不归”法进行求解最值，然后利用三角函数进行求解线段的长． 3．（2021·江苏·苏州中考二模）已知抛物线（为常数，）经过点，点是x轴正半轴上的动点．点在抛物线上，当的最小值为时，b的值为_____． 【答案】4 【分析】 将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c＝﹣b﹣1，将点Q（，yQ）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为，可知点Q（，）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为AM+2QM＝，所以[（﹣）﹣（﹣1）]+2 [（b+）﹣（﹣）]＝，解方程即可． 【详解】 解：∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0）， ∴1+b+c＝0， 即c＝﹣b﹣1， ∴y＝x2﹣bx﹣b﹣1， ∵点在抛物线上， ∴ ， ∵， ∴，， ∴点Q（，）在第四象限，且在直线x＝b的右侧， ∵AM+2QM＝2（AM+QM），点， ∴可取点N（0，1）， 则AO＝ON＝1， 又∵∠AON＝90°， ∴∠OAN＝45°， 如图，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M， 由∠GAM＝45°，得AM＝GM， 则此时点M满足的值取得最小值，符合题意， 过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0）， 在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°， ∴QH＝MH，QM＝MH， ∵点M（m，0）， ∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m， 解得，m＝﹣， ∵AM+2QM＝， ∴ [（﹣）﹣（﹣1）]+2 [（b+）﹣（﹣）]＝， ∴b＝4， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求函数关系式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程，解直角三角形等相关知识，解题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解． 4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接BC，且tan∠CBD，如图所示． （1）求抛物线的解析式； （2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点． ①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，