专题11 将军饮马求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题11 将军饮马求最值问题 1．（2021·河北廊坊市·中考二模）如图，在平面直角坐标系中，过点的抛物线．分别交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点是抛物线对称轴上一点，当取得最小值时，求点的坐标． （3）当，两点满足：，，且时，若符合条件的点的个数有2个，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】 （1）把点P(−，)代入y=−+bx+2即可求解； （2）连接，交对称轴于点，连接，此时取得最小值，即为的长，求得直线的函数表达式，即可求解； （3）利用两点之间的距离公式结合勾股定理的逆定理得到关于的一元二次方程，根据，求解即可． 【详解】 解：（1）∵点P(−，)在抛物线上， ∴，解得：． ∴抛物线的函数表达式为：； （2）， ∴抛物线的对称轴为． 由，得，， ∴，． 由，得， ∴C(0，2)， ∵，两点关于对称轴对称， ∴连接，交对称轴于点，连接， 此时取得最小值，即为的长． 设直线的函数表达式为， ∴，解得． ∴， 当时，， ∴点的坐标为； （3）∵M(m，0)，N(0，n)，P(−，)，∠PMN=90°，且满足：，， ∴，，， ∵， ∴， 整理得关于的一元二次方程：， ∵符合条件的点的个数有2个， ∴， 即，解得：， 的取值范围为． 【点睛】 本题主要利用了抛物线与x轴的交点坐标的求解，待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求法，勾股定理的逆定理以及一元二次方程根与系数的关系等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 2．（2021·广西西林·九年级期中）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D． （1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积； （3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，D（﹣1，4）；（2）9；（3）存在， Q（﹣，0）． 【分析】 （1）由待定系数法求出抛物线的表达式，进而求出顶点D的坐标． （2）根据勾股定理证明是直角三角形，四边形ABCD的面积＝×BC×CD+×AB×OC，计算求解． （3）作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE，计算得出直线DE的解析式，DE交x轴于点Q，代入计算求出点Q的坐标． 【详解】 解：（1）∵设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c， 将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：， 解得 ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4， ∴点D的坐标为（﹣1，4）； （2）∵由点B、C、D的坐标可知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝＝． （3）存在，Q（﹣，0），如图 作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点， ∵设直线ED的表达式为y＝kx+b，将D、E两点坐标代入可得， ， 解得， ∴直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3， 令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣， ∴点Q的坐标为（﹣，0）． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆用，求多边形面积及两点间线段最短，运用数形结合的方法是解题关键． 3．（2021·山东东营·中考真题）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】 （1）先利用直线得到点B和点C的坐标，利用待定系数法求解； （2）根据解析式求得点A的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证； （3）设点D的坐标为，将线段DE的长用函数关系式表示为顶点式形式，利用函数的性质得到当时，线段DE的长度最大，得到点D的坐标，再利用轴对称及勾股定理求出答案即可． 【详解】 （1）解：∵直线分别与轴和轴交于点B和点C， ∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）， 把，分别代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于点A， ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （3）设点D的坐标为 则点E的坐标为 ∴ = ∵， ∴当时，线段DE的长度最大． 此时，点D的坐标为， ∵， ∴点C