专题10 利用二次函数性质求线段最值-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题10 利用二次函数性质求线段最值 方法点拨：二次函数 ①当时，时，函数有最小值； ②当时，时，函数有最大值。 1．（2021·重庆万州·九年级期末）如图，抛物线与x轴相交于点和点B，交y轴于点C，，点P是抛物线上第一象限内的一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作轴交于点D，求线段长度的最大值； （3）若Q为坐标平面内一点，在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）（0，）或（0，）或（3，） 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）设点P（x，-x2+2x+3），则点D（x，-x+3）（0＜x＜3），则PD＝，即可求解； （3）分别得到P，D，C的坐标，分PD为平行四边形的边和对角线，根据平行四边形的性质可得坐标． 【详解】 解：（1）∵A（-1，0），则OA=1， 又∵CO=3AO， ∴OC=3，C（0，3）， 把A，C两点的坐标代入y=-x2+bx+c得， 解得：， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； （2）由-x2+2x+3=0得点B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b， 将点B（3，0），C（0，3）代入得，解得：， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， 设点P（x，-x2+2x+3），则点D（x，-x+3）（0＜x＜3）， ∴PD＝（-x2+2x+3）-（-x+3）＝-x2+3x＝， ∴当x＝时，PD有最大值； （3）由（2）可得： 将x=分别代入y=-x+3和y=-x2+2x+3中， 得y=，y=， ∴D（，），P（，），又C（0，3）， ∵以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，如图， 若PD为平行四边形的边， 则四边形PDCQ2和四边形PCQ1D为平行四边形， ∴PD=CQ2=CQ1，PD∥CQ2∥CQ1， 可得Q1（0，），Q2（0，）； 若PD为平行四边形的对角线， 则四边形PCQ3D为平行四边形， 则CP=DQ3，CP∥DQ3， 则Q3（3，）， 综上：点Q的坐标为（0，）或（0，）或（3，）． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，有一定的综合性，难度适中． 2．（2021·安徽·合肥市九年级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点D为抛物线上一个动点（不与B，C重合）． （1）求直线l的表达式； （2）如图，当点D在直线l上方的抛物线上时，过D点作DEx轴交直线l于点E，设点D的横坐标为m． ①当点D运动到使得点E与点C重合时，求点D的坐标； ②求线段DE的长（用含m的代数式表示），并求出线段DE的最大值． 【答案】（1）；（2）①；②，8 【分析】 （1）根据抛物线的解析式，分别令即可求得的坐标，进而根据待定系数法求得直线的解析式； （2）①根据题意DEx，则的纵坐标为，根据是二次函数上的点即可求得的横坐标；②根据是直线上的点，结合（1）的结论，根据的横坐标，表示出的纵坐标，进而根据DEx轴，即可求得的纵坐标，根据的解析式即可求得横坐标，由的长等于的横坐标减去的横坐标即可求得的长，进而根据配方法即可求得最大值． 【详解】 （1）由，令，则，即 令，则， 即 解得 点A在点B的左侧 ， 设直线的解析式为：，将，代入得， 解得 设直线的解析式为：， （2）① DEx轴，， 当点D运动到使得点E与点C重合时，的纵坐标为， 由，令，则 解得 ②点D的横坐标为m，则 DEx轴， 点的纵坐标为， 点在直线：上， 此时点的横坐标为： 则线段DE的长为 线段DE的最大值为． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与坐标轴的交点问题，求一次函数的解析式，求二次函数最值问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（2021·山东·济阳区九年级月考）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的对称轴及k的值； （2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标； （3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限． ①当M点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点M的坐标； ②过点M作轴交线段AC于点P，求出线段PM长度的最大值． 【答案】（1）抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，k＝﹣4；（2）P（﹣1，﹣2）；（3）①的最大面积为8，点M的坐标为（﹣1，﹣4）；②线段PM长度的最大值为． 【分析】 （1）直接将C点坐标代入函数关系式，进而得出k的值即可； （2）如图，连接AC交对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法可求出直线AC的解