6.4导数的综合问题 讲义-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.4 导数的综合问题（补充）（新课） 典例讲解 考点一：恒成立与存在性问题 例1：已知函数 ，其中e是自然对数的底数。 (1)证明： 是R上的偶函数； (2)若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围； (3)已知正数a满足：存在 ,使得 成立,试比较 与 的大小，并证明你的结论。 变式1：已知函数 ， (Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程； (Ⅱ)求证,当 时, ； (Ⅲ)设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值。 变式2：已知函数 , . (Ⅰ)函数 在点 处的切线与直线 平行,求函数 的单调区间； (Ⅱ)设函数 的导函数为 ,对任意的 ,若 恒成立，求 的取值范围。 考点二：零点问题 例2.（讨论零点个数）(2014·陕西文科·T21)(本小题满分14分)设函数f(x)=lnx+,m∈R. (1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值. (2)讨论函数g(x)=f ' (x)-零点的个数. (3)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围. 变式1.（2014·四川高考理科·Ｔ21）已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数． （1）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值； （2）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围. 变式2（2013·山东高考理）设函数f(x)＝＋c(e＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R)． (1)求f(x)的单调区间、最大值； (2)讨论关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数． 例3.（引入未知零点）（2015高考新课标1，文21）（本小题满分12分）设函数 . （I）讨论 的导函数 的零点的个数； （II）证明：当 时 . 变式1．（2013·新课标II高考理）已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. 变式2. 设函数 ，若 ，不等式 ， 恒成立，求整数 的最大值。 考点三：双变量问题 例4：设函数 ， . (1)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值； (2)求函数 的单调区间； (3)若函数 有两个极值点 , ,且 ,求证： . 变式1：已知常数 ,函数 , . (1)讨论 在 上的单调性； (2)若 在 上存在两个极值点 , ,且 ，求常数 的取值范围。 变式2：已知函