6.4导数的综合问题 讲义-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.4 导数的综合问题（补充）（新课）

典例讲解

考点一：恒成立与存在性问题

例1：已知函数，其中e是自然对数的底数。

(1)证明：是R上的偶函数；

(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；

(3)已知正数a满足：存在,使得成立,试比较与的大小，并证明你的结论。

 

 

变式1：已知函数，

(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)求证,当时,；

(Ⅲ)设实数使得对恒成立，求的最大值。

 

 

变式2：已知函数,.

(Ⅰ)函数在点处的切线与直线平行,求函数的单调区间；

(Ⅱ)设函数的导函数为,对任意的,若恒成立，求的取值范围。

 

考点二：零点问题

例2.（讨论零点个数）(2014·陕西文科·T21)(本小题满分14分)设函数f(x)=lnx+,m∈R.

(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值.

(2)讨论函数g(x)=f ' (x)-零点的个数.

(3)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.

 

 

 

 

变式1.（2014·四川高考理科·Ｔ21）已知函数，其中，为自然对数的底数．

（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；

（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.

 

 

 

 

 

变式2（2013·山东高考理）设函数f(x)＝＋c(e＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R)．

(1)求f(x)的单调区间、最大值；

(2)讨论关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数．

 

 

 

 

例3.（引入未知零点）（2015高考新课标1，文21）（本小题满分12分）设函数.

（I）讨论的导函数的零点的个数；

（II）证明：当时.

 

 

 

 

 

 

变式1．（2013·新课标II高考理）已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

 

 

 

 

 

 

变式2. 设函数，若，不等式， 恒成立，求整数的最大值。