5.5数学归纳法 讲义-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.5数学归纳法（新课） 知识梳理 数学归纳法证明 概念： 用来证明某个命题在任意一个给定的情形都是正确的。 一般步骤： 1）当n=1时，显然成立。 2）假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立， 则当n=k+1时，（这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果)该式也成立。 由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立。 特点归纳： 已经总结出规律，只要能够证明规律的正确性，就不需要逐步推算，可节省时间和资源 数学归纳法的核心思想 - 逆向递推 迭代的核心思想 - 正向递推 关于数列求和的不等式的证明 对于这类问题我们都需要先求出和的表达式，所以总的来看分两种情况： 可以直接求和：则先求和再通过和的形式或单调性来证明不等式。 不能直接求和：则通过放缩，先转换为能求和的形式。 关于放缩： ①考虑放缩的方向； ②放缩后的常见形式：裂项形，等比形，等差形； ③若放缩后超过所证数，则考虑前几项不放缩。 典例解析 考点一：数学归纳法 例1．用数学归纳法证明不等式的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（ ） A． B． C． D． 变式1．用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为（ ） A． B．， C．， D．， 变式2．设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（ ） A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列 C．恒成立 D．恒成立 例2．试用数学归纳法证明. 变式1．已知数列满足，且． （1）用数学归纳法证明； （2）设，求数列的通项公式． 变式2．已知数列满足，. （1）求，，，并由此猜想出的一个通项公式（不需证明）； （2）用数学归纳法证明：当时，. 考点二：直接求和再证不等式 例3.数列的前项和为，且，。 (1)求数列的通项公式； (2)设，，求证：. 变式1.已知数列的前项和，且， (1)求数列的通项； (2)设，，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，是数列的前项和，证明 考点三：先放缩再求和（放缩成裂项相消模型） 例4.数列的前项和为,已知，，， (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)证明：对一切正整数，有。 变式1.题干同例4，证明：对一切正整数，有。 变式2.题干同例4，证明：对一切正整