5.5数学归纳法 讲义-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册
5.5数学归纳法（新课）
知识梳理
数学归纳法证明
概念： 用来证明某个命题在任意一个给定的情形都是正确的。
一般步骤：
1）当n=1时，显然成立。
2）假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立， 则当n=k+1时，（这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果)该式也成立。
由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立。
特点归纳： 已经总结出规律，只要能够证明规律的正确性，就不需要逐步推算，可节省时间和资源
数学归纳法的核心思想 - 逆向递推 迭代的核心思想 - 正向递推
关于数列求和的不等式的证明
对于这类问题我们都需要先求出和的表达式，所以总的来看分两种情况：
可以直接求和：则先求和再通过和的形式或单调性来证明不等式。
不能直接求和：则通过放缩，先转换为能求和的形式。
关于放缩： ①考虑放缩的方向；
②放缩后的常见形式：裂项形，等比形，等差形；
③若放缩后超过所证数，则考虑前几项不放缩。
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典例解析
考点一：数学归纳法
例1．用数学归纳法证明不等式
的过程中，由
推导
时，不等式的左边增加的式子是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．用数学归纳法证明
这一不等式时，应注意
必须为（ ）
A．
B．，
C．，
D．，
变式2．设
，若数列
是无穷数列，且满足对任意实数
不等式
恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列
C．
恒成立 D．
恒成立
例2．试用数学归纳法证明
.
变式1．已知数列
满足
，且
．
（1）用数学归纳法证明
；
（2）设
，求数列的通项公式．
变式2．已知数列满足
，
.
（1）求
，
，
，并由此猜想出的一个通项公式（不需证明）；
（2）用数学归纳法证明：当
时，
.
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考点二：直接求和再证不等式
例3.数列
的前项和为
，且
，
。
(1)求数列的通项公式；
(2)设
，
，求证：
.
变式1.已知数列
的前项和
，且
，
(1)求数列的通项；
(2)设
，
，若
，恒成立，求实数
的取值范围；
(3)设
，，
是数列
的前项和，证明
考点三：先放缩再求和（放缩成裂项相消模型）
例4.数列的前项和为,已知
，
，，
(1)求
的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：对一切正整数，有
。
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