5.4.2数列求和 讲义-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.4.2数列求和（补充）（新课） 知识梳理 分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减。形如 ，其中 为等差， 为等比，求数列 的前项和，即 的和。 如： ； 等。 裂项相消法 裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的.常见的裂项相消形式有： (1)，， (2) (3) (4) (5) 错位相减法 这种方法是在推导等比数列求和公式时所用的方法，主要用于求数列 ， 其中和 一个是等差数列，一个是等比数列. 典例解析 考点1：分组求和法 例1．在等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求数列的前和. 变式1．设为等差数列，为数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 变式2．已知是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 例2.（2014湖南）已知数列的前项和 . (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 变式1.（2016天津文）已知是等比数列，前项和为，且 . (1)求的通项公式； (2)若对任意的是和的等差中项，求数列的前项和. 变式2．在数列中，，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和. 考点2：裂项相消法 例3．设等差数列的前项和为，若， （1）求数列的通项公式； （2）设，求的前项和为. 变式1．已知数列为等差数列，，，其前项和为，且数列也为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 变式2.（15年安徽文科）已知数列是递增的等比数列，且 (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，，求数列的前项和。 考点3：错位相减法 例4．已知数列的前n项和为,且,,数列满足，. (1)求和的通项公式； (2)求数列{}的前n项和 . 变式1．已知正项等差数列中，为其前n项和，，，等比数列的前项和. （1）求数列、的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 变式2．已知等比数列的公比，且的等差中项为10， . （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设， 求数列的前项和. 考点4倒序相加法 例5．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得______