5.4.2数列求和 讲义-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.4.2数列求和（补充）（新课）

知识梳理

分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减。形如 ，其中 为等差， 为等比，求数列 的前项和，即 的和。

如： ； 等。

裂项相消法

裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的.常见的裂项相消形式有：

(1)，，

(2)

(3)

(4)

(5)

错位相减法

这种方法是在推导等比数列求和公式时所用的方法，主要用于求数列 ，

其中和 一个是等差数列，一个是等比数列.

 

典例解析

考点1：分组求和法

例1．在等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求数列的前和.

 

 

 

 

 

变式1．设为等差数列，为数列的前项和，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

 

 

 

 

 

 

变式2．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

 

 

 

 

 

例2.（2014湖南）已知数列的前项和 .

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

 

 

 

 

 

变式1.（2016天津文）已知是等比数列，前项和为，且 .

(1)求的通项公式；

(2)若对任意的是和的等差中项，求数列的前项和.

 

 

 

 

 

 

变式2．在数列中，，.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设，求数列的前n项和.