5.2等差数列 讲义-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册
5.2等差数列（新课）
知识梳理
等差数列的递推式：
等差数列的通项公式：
等差数列的前
项和公式：
等差数列的性质：
(1)对于等差数列
，若
，则
.
(2)若数列与
为等差数列，则
仍为等差数列
(3)
是关于的一次式或常数函数，则
也是一个等差数列
(4)
，
，
，
分别为
的前项和，前
项和，前
项和，则，
，
，成等差数列
(5)
(6)若等差数列的前
项的和为
，等差数列的前项的和为
，则
.
1
典例解析
考点一：通项及前项和的基本应用
例1．设等差数列
的前项和为
，若
，
，则公差
等于（ ）
A．0 B．1 C．
D．
变式1．已知等差数列的前n项和为，且
，则
＝（ ）
A．0 B．10 C．15 D．30
变式2．在等差数列中，若
，
，则公差d=（ ）
A．
B．
C．3 D．－3
例2．在等差数列中，已知
，则该数列前9项和
（ ）
A．18 B．27 C．36 D．45
变式1．已知等差数列的前项和为（
），若
，则
（ ）
A．6 B．
C．
D．
变式2．在等差数列
中，有
，则该数列的前
项之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．已知数列满足
，且
，那么
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
变式1．已知数列满足
,
,则
等于（ ）
A．－54 B．－55 C．－56 D．－57
变式2．已知数列满足
（
）,且
，
，则
（ ）
A． B． 
C．
D．
1
例4．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A．
钱 B．
钱 C．
钱 D．
钱
变式1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人1月的入贯数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
变式2．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把
个面包分给
个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A．
B． C．
D．
考点二：性质及应用
例5.（2013·辽宁高考理）下面是关于公差
的等差数列的四个命题：
：数列是递增数列； 
：数列
是递增数列；
：数列
是递增数列； 
：数列
是递增数列．
其中的真命题为 ( )
, 
, 
, 
,
变式1．下列说法中正确的是（ ）
A．若
，
，
成等差数列，则
，
，
成等差数列
B．若，，成等差数列，则
，
，
成等差数列
C．若，，成等差数列，则
，
，
成等差数列
D．若，，成等差数列，则
，
，
成等差数列
变式2．已知等差数列的前项和为，
，
与
的等差中项为2，则
的值为（ ）
A．6 B．
C．或6 D．2或6
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