8.1 向量的数量积 讲义-2021-2022学年高中数学人教B版（2019）必修第三册

8.1向量的数量积（新课） 知识梳理 平面向量的数量积 1. 向量的数量积概念：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则叫做与的数量积。 2. 向量的夹角： =。 3. 向量的投影：，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影。 4.平面向量数量积的运算律 （1）交换律成立：； （2）对实数的结合律成立：； （3）分配律成立：。 注：①结合律不成立：；②消去律不成立：，不能得到。 平面向量的坐标运算及性质 1.若，则 2.若，则 （1）； （2）； （3），； （4）； （5），； （6）； （7）。 典例解析 考点一：平面向量的数量积 例1. 已知，与的夹角，则= 变式1．已知向量与向量的夹角为，且，，则=_______． 变式2．已知非零向量与的夹角为，，若，则______. 例2．在边长为2的等边三角形中，若，则的值为______. 变式1．已知等边三角形的边长为6，点满足，则______. 变式2．若等边的边长为1，平面内一点M满足，则_________. 考点二：夹角问题 例3.已知 ，，则与的夹角余弦值为______ 变式1：（2015重庆文7）已知非零向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 变式2．已知非零向量、满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 例4：已知向量，，当与的夹角为钝角时，实数的取值范围是 变式1. 已知的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 变式2. 已知，与的夹角为，且，若夹角为锐角，则的取值范围是 考点三：模长问题 例5： 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 =（ ）. A． B． C． D．4 变式1.设向量满足，，则=（） A. 1 B. 2 C. 3 D.5 变式2：已知，则与的夹角为 考点四：投影问题 例6：已知，则在方向上的投影是 变式1. 已知点，则在上的投影为 变式2：已知点,,,,则向量在方向上的投影为( ). A． B． C． D． 例7．已知的夹角为，则在上的投影是__________ 变式1．已知向量，若，则在上的投影是_________． 变式2．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为_______. 考点五：判断三