8.1.3向量数量积的坐标运算 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学导学案聚焦向量数量积的坐标运算，系统梳理了向量垂直、模长、夹角的坐标表示及其应用，通过从基础公式到综合问题的层层递进，构建起“向量代数化”与“几何直观化”的学习支架，帮助学生实现从具体到抽象的认知跃迁。 资料亮点突出，体现核心素养导向，注重数学眼光下的现实问题转化，如用坐标刻画几何关系，强化几何直观与空间观念。习题设计层次分明，涵盖基础训练、易错辨析与跨情境应用，尤其在夹角判断和向量共线陷阱处理中凸显数学思维的严谨性，培养学生逻辑推理能力和数据意识，真正实现用数学语言表达现实世界的精准与简洁。

8．1.3　向量数量积的坐标运算 【课程标准】　1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.3.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 教 材 要 点 知识点一　两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 1．向量数量积的坐标运算： 已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝__________． 2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔____________． 知识点二　向量的长度、距离和夹角公式 1．向量的长度： 已知a＝(a1，a2)，则|a|＝__________________． 2．两点间的距离： 如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ||＝__________________． 3．两向量的夹角： 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则cos 〈a，b〉＝____________________． 4．两个向量垂直的坐标表示：若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 【学霸笔记】　与向量a ＝(a1，a2)同向的单位向量的坐标如何表示？ [提示]　由于单位向量a0 ＝，且|a| ＝，所以a0 ＝ ＝(a1，a2) ＝)，此为与向量a ＝(a1，a2)同向的单位向量的坐标． 基 础 自 测 1.已知a＝(－2，1)，b＝(3，2)，则a·(a＋b)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，1)，则|2a－b|＝(　　) A． B．4 C． D．6 3．(多选)设向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则下列结论中正确的是(　　) A．|a|＝|b| B．a·b＝2 C．a∥b D．(a－b)⊥b 4．已知a＝(1，3)，b＝(1，－1)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A． B．－ C．－ D． 5．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，c＝(3，6)，且a⊥c，b∥c，则向量a＋b与a－c的夹角大小为________． 题型1平面向量数量积的坐标运算 例1(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x＝(　　) A．　　　B．－　　　C．　　　D．－ 总结　根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解． (2)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)，则a·b＝________，a·(a－b)＝________． (3)已知a＝(2，－1)，b＝(3，2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________． 总结 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝，并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a·a；(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系． (3)向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充． 跟踪训练1　在矩形ABCD中，若AB＝1，＝，且·＝·，则·＝(　　) A． B．1 C． D．2 题型2向量模的问题 例2(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|＝(　　) A．4 B．5 C．3 D．4 (2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________． 总结　(1)两向量 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2 －x2y1 ＝0. (2)已知 ＝(x，y)，则||＝. 总结 向量模的问题的解题策略： (1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算． (2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝. 跟踪训练2　在直角坐标系xOy中，已知a＝(1，3)，b＝(3，1)，若∀t∈R，|a－λb|≤|a－tb|恒成立，则λ＝(　　) A． B． C． D． 题型3向量的夹角与垂直问题 【思考探究】　1.设a，b都是非零向量，a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ [提示]　cos θ＝＝. 2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a与b的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？ [提示]　∵a ＝(1，－1)，b＝(λ，1)， ∴|a|＝，|b|＝，a·b ＝λ－1. ∵a，b的夹角α为钝角， ∴即 ∴λ<1，且λ≠－1， ∴λ的取值范围是(－∞，－1) 例3(1)已知a＝(2，1)，b＝(1，t)，若a·b＝5，则cos 〈a，b〉＝________. (2)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－2，，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，2) (3)已知a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m为何值？ 总结　(1)可利用，夹角为锐角⇔求解． (2)可利用两非零向量⊥⇔· ＝0来求m. 总结 1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用|a|＝计算两向量的模． (3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角的余弦值． (4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值． 2．求向量夹角的方法技巧 (1)若求向量a与b的夹角，利用公式cos 〈a，b〉＝＝，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角． (2)非零向量a与b的夹角θ与向量的数量积的关系： ①若θ为直角，则充要条件为向量a⊥b，则转化为a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ②若θ为锐角，则充要条件为a·b>0，且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同)． ③若θ为钝角，则充要条件为a·b<0，且a与b的夹角不能为π(即a与b的方向不能相反)． 3．非零向量a，b垂直问题的解决方法 涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决． 跟踪训练3　(1)已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c. ①求b与c； ②若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小． (2)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠APN的余弦值为________． 易错点　忽略向量共线问题 例　已知向量a＝(－2，－1)，b＝(t，1)，且a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是________． 【错解】　设向量a与b的夹角为θ， ∵θ为钝角，∴<θ<π，∴cos θ＝<0， ∴a·b<0，即(－2，－1)·(t，1)＝－2t－1<0， ∴t>－. 【正解】　若a与b的夹角为钝角，则它们数量积小于0，且两向量不为反向向量． 由a·b＝(－2，－1)·(t，1)＝－2t－1<0， 得t>－，若为反向向量， 则a＝λb(λ<0)，∴解得∴t≠2， ∴实数t的取值范围是t>－，且t≠2， 即t∈(－，2) 故答案为(－，2) 【易错点】 错误原因 纠错心得 忽略了向量共线而错． 向量同向共线数量积大于零，向量反向共线数量积小于零． 教材反思 (1)向量垂直的坐标表示 ①记忆口诀和注意问题 注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”；“a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”． ②可以解决的问题 应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题． (2)区分向量平行与垂直的坐标公式 ①向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算，而且使有关模(长度)、角度、垂直等问题用坐标运算来解决尤为简单． ②注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区别． 题型4用数量积的坐标运算解决平面几何问题[直观想象、数学运算] 例4已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　) A．(－2，6) B．(－6，2) C．(－2，4) D．(－4，6) 总结 用向量方法解决平面几何问题的步骤 跟踪训练4　(多选)已知正三角形ABC的边长为2，动点P为三角形ABC所在平面内一点，且满足|PC|＝1，则·的值可能为(　　) A．4－2 B．2－2 C．3＋2 D．7 能 力 提 升 练 1.设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________． 2．P是边长为2的正方形ABCD边界或内部一点，且＝，则·的最大值是________． 8．1.3　向量数量积的坐标运算 新知初探·自主学习 [教材要点] 知识点一 1．a1b1＋a2b2 2．a1b1＋a2b2＝0 知识点二 1. 2. 3. [练习] 1．解析：由题意可得a＋b＝(1，3)，所以a·(a＋b)＝－2×1＋1×3＝1.故选A. 答案：A 2．解析：因为a＝(2，1)，b＝(－1，1)，所以2a－b＝(5，1)，所以|2a－b|＝，故选C. 答案：C 3．解析：因为向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，对于A选项，|a|＝2，|b|＝，A错误；对于B选项，a·b＝2＋0＝2，B正确；对于C选项，因为2×1－0×1≠0，故a，b不共线，C错误；对于D选项，a－b＝(1，－1)，则(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b，D正确．故选BD. 答案：BD 4．解析：设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝.故选C. 答案：C 5．解析：由题意得3x＋6＝0，2×6－3y＝0，解得x＝－2，y＝4， 故a＋b＝(－2，1)＋(2，4)＝(0，5)，a－c＝(－2，1)－(3，6)＝(－5，－5)， 则cos 〈a＋b，a－c〉＝， 因为〈a＋b，a－c〉∈[0，π]，所以〈a＋b，a－c〉＝. 答案： 课堂探究·素养提升 例1　【解析】　(1)因为a＝(1，2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1，2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－. (2)a·b＝(－1，2)·(3，2)＝(－1)×3＋2×2＝1， a·(a－b)＝(－1，2)·[(－1，2)－(3，2)]＝(－1，2)·(－4，0)＝4. (3)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5， 所以解得 所以c＝. 【答案】　(1)D　(2)1　4　(3) 跟踪训练1　解析：建立如图所示平面直角坐标系，设AD＝t，t>0，A(0，0)，B(1，0)，C(1，t)，D(0，t)， 由可得E＝(1，0)，＝＝(0，t)， 由，可得1＝，解得t＝，或t＝－(舍去)， 则＝·＝1＋1＝2.故选D. 答案：D 例2　【解析】　(1)由a∥b，得y＋4＝0， y＝－4，b＝(－2，－4)， ∴2a－b＝(4，8)，∴|2a－b|＝4.故选D. (2)由题意知，a＋b＝(－2，4)，a－b＝(4，0)， 因此|a＋b|＝2＝4. 【答案】　(1)D　(2)2　4 跟踪训练2　解析：由题意可得a·b＝1×3＋3×1＝6，|a|＝＝， 若∀t∈R，|a－λb|≤|a－tb|恒成立， 则∀t∈R，|a|2＋λ2|b|2－2λa·b≤|a|2＋t2|b|2－2ta·b恒成立， 即∀t∈R，10＋10λ2－12λ≤10＋10t2－12t恒成立， 即∀t∈R，5λ2－6λ≤5t2－6t＝52－恒成立， 而当52－时，等号成立， 故5λ2－6λ≤－，即(5λ－3)2≤0，∴λ＝，故选D. 答案：D 例3　【解析】　(1)由a·b＝5，得2×1＋1×t＝5，解得t＝3， 所以b＝(1，3)， 所以|a|＝＝， 所以cos 〈a，b〉＝. (2)当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0，得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，故选B. (3)a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)，因为(a＋mb)⊥(a－b)，所以(a＋mb)·(a－b)＝0， 即(3＋2m)×1＋ (4－m)×5＝0，所以m＝. 【答案】　(1)　(2)B　(3)见解析 跟踪训练3　解析：(1)①因为a∥b，所以3x＝4×9，所以x＝12. 因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3， 所以b＝(9，12)，c＝(4，－3)． ②m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)． 设m，n的夹角为θ， 则cos θ＝. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即m，n的夹角为. (2)依题意，以A为原点，AC所在直线为x轴，过A作AC的垂线为y轴，如图所示， ∵AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°， ∴A(0，0)，B，C(4，0)，N(2，0)，则M， ∴＝＝， ∵∠APN为向量与的夹角， ∴×1＋＝－1， ＝ ＝ ＝2， ∴cos ∠APN＝. 答案：(1)见解析　(2)－ 例4　【解析】　设P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，＝(x，y)，＝(2，0)，所以＝2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为－1， 所以－1<x<3，所以－2<<6. 【答案】　A 跟踪训练4　解析：因为动点P满足|PC|＝1，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，如图建立平面直角坐标系，则A，B(－1，0)，C(1，0)，圆C：(x－1)2＋y2＝1，设P(1＋cos α，sin α)，则＝＝(－2－cos α，－sin α)，则＝(－1－cos α)(－2－cos α)＋(－sin α)＝3cos α－sin α＋3＝sin ＋3，所以∈，因为4－2∈，3＋2∈，2－2∉，7∉故选AC. 答案：AC 能力提升练 1．解析：∵A，B，C三点能构成三角形， ∴不共线． 又∵＝(1，1)，＝(m－2，4)， ∴1×4－1×(m－2)≠0，解得m≠6， ∴m的取值范围是{m|m≠6}． 答案：{m|m≠6} 2．解析：方法一　以B为坐标原点，以BC方向为x轴正方向，以BA方向为y轴正方向建立平面直角坐标系， 则A(0，2)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，2)， 设P(x，y)，0≤x≤2，0≤y≤2，则＝(x，y－2)， 因为，则＝(2－x，－2－y)， 则＝x(2－x)＋(y－2)(－2－y)＝5－[(x－1)2＋y2]， 故当x＝1，y＝0时，取得最大值为5. 方法二　令，则E为BC中点，E为PM中点，则E(1，0)， 所以＝5， 当P为BC中点时取等号． 答案：5 学科网（北京）股份有限公司 $