专题07 二次函数与实际应用（拱桥问题）-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题07 二次函数与实际应用（拱桥问题） 一、填空题 1．（2021·安徽肥东·中考二模）如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等．小强骑自行车从桥的一端O沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需_____________秒． 【答案】46 【分析】 由题意及抛物线的对称性，可求得抛物线的对称轴，从而可得小强通过整个桥面OA的一半所需要的时间，再乘以2即可得出答案． 【详解】 解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同， ∴MN的对称轴为直线x==23， ∴他通过整个桥面OA共需23×2=46（秒）． 故答案为：46． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意、熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 2．（2021·江苏工业园区·中考一模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m． 【答案】40 【分析】 以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可得的长． 【详解】 解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系： ，， 设外侧抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， ， 在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度的长）为． 故答案为：40． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键． 3．（2021·浙江·温州市中考一模）2021年1月12日世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥主体成功合拢．如图2所示，已知桥底呈抛物线，主桥底部跨度米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，桥面，抛物线最高点离路面距离米，米，，O，D，B三点恰好在同一直线上，则________米． 【答案】18 【分析】 根据题意设表达式为，得到E、F、B、D的坐标，可得CD，证明△BCD∽△OAB，得到，求出a值，可得CD． 【详解】 解：设抛物线， 则，， ∴，， ∴， ∵B，D，O共线， ∴∠CBD=∠AOB，又∠BCD=∠BAO=90°， ∴△BCD∽△OAB， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴． 故答案为：18． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定和性质，根据已知条件设出函数表达式，从而表示相应点的坐标是解题的关键． 4．（2021·江苏工业园区·中考二模）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于，两点，拱桥最高点到的距离为，，，为拱桥底部的两点，且，若的长为，则点到直线的距离为______． 【答案】10m 【分析】 以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，求出点B坐标，设该抛物线的表达式为y=ax2，代入点B坐标求出解析式，进而求得点E坐标，即可求解． 【详解】 解：根据题意，以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B（12，﹣8）， 设该抛物线的表达式为y=ax2， 将B（12，﹣8）代入，得：﹣8=a·122， 解得：a=， ∴该抛物线的表达式为y=x2， 当x=18时，y=×182=﹣18，∴E（18，﹣18）， ∴点到直线的距离为﹣8﹣（﹣18）=10m， 故答案为：10m． 【点睛】本题考查二次函数的应用、求二次函数的解析式式，建立适当的平面直角坐标系，借助二次函数数学模型解决实际问题是解答的关键． 二、解答题 5．（2021·浙江衢州·中考真题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱项部O离水面的距离． （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式． ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】（1）6m；（2）①；②2m 【分析】 （1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可； （2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H