浙江省台州市、永康市六校（三门中学、黄岩中学、温岭中学、天台中学、台州中学）2021-2022学年高三上学期11月数学期中考试卷

2021学年第一学期台州六校高三数学期中试题 第I部分 （选择题部分 共40分） 一 选择题 (本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合 , 则( ) A. B. C. D. 2. 已知 ( 为虚数单位), 则( ) A. B. 1 C. D. 3 3. 已知 为单位向量, 则 是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若实数满足约束条件 , 则的最小值为( ) A. B. C. D. 4 5. 已知三条不同的直线 , 两个不同的平面 , 则下列说法错误的是( ) A. 若 , 则 或 B. 若 , 则 C. 若 , 则 D. 若 , 则 6. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是( ) A. 18 B. 36 C. 54 D. 108 7. 已知函数 的图像如图, 则该函数的解析式可能是( ) A. B. C. D. 8. 已知函数 , 函数的图像可以由函数的图象先向右平移 个单位长度, 再将所得函数图象保持纵坐标不变, 横坐标变为原来的 倍得到, 若函数 在 上没有零点, 则的取值范围是( ) A. B. C. D. 9. 设函数在上存在导数, 对任意的有, 若, 则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10. 已知数列, 若, 则当时, 下列结论不一定正确的是( ) B. C. D. 存在正整数, 当时, 恒成立 第 II 部分 （非选择部分 共 110 分） 二 填空题（本大题有 7 个小题, 单空题每题 4 分, 多空题每题 6 分, 共 36 分） 11. 计算( ) 12. 已知, 则( ), ( ). 13. 已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球, 袋内有大小相同的1个红球和2个白球. 现从两个袋内各任取2个球, 则恰好有1个红球的概率为( ); 记取出的 4个球中红球的个数为随机变量 , 则的数学期望为( ). 14. 设函数 , (1) 若, 则的单调减区间为( ); (2) 若函数 的值域为, 则的取值范围是( ) 15. 在 中, 内角的对边分别为 且满足, 则角的大小为( ); 设为边上一点, 且, 则的最小值为( ). 16. 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，, , 则椭圆离心率的取值范围为( ) 17. 已知平面向量, 满足, 则的最小值是( ) 三 解答题 (本大题有 5 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步䜻) 18. (本题 14 分) 已知函数 . (1) 求函数的最小正周期与单调递增区间; (2) 若时, 函数的最大值是0 , 求实数的值. 19. (本题 15 分) 如图, 已知四棱锥中, 平面 , 四边形 中, , , 点在平面内的投影恰好是 的重心. (1) 求证: 平面平面; (2) 求直线与平面所成角的正弦值. 20. (本题 15 分) 在数列中, 表示其前项和, 满足. (1) 求证: 数列是等比数列, 并求数列 的通项公式: (2) 设, 求证. 21. (本题 15 分) 在平面直角坐标系中, 已知椭圆为椭圆的上顶点, 抛物线. 是上的动点, 且位于第一象限, 在点处的切线与交于不同的两点, 线段的中点为, 直线与过点且垂直于轴的直线交于点. (1) 求的纵坐标为定值; (2) 直线与轴交于点, 记的面积为的面积为, 求 的最大值及此时点坐标. 22. (本题 15 分) 已知. (1) 讨论的单调性; (2) 若有两个零点是的极值点, 求证: . $