5.1.2瞬时变化率-导数（备作业）-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（苏教版2019选择性必修第一册）

5.1.2瞬时变化率-导数 一、单选题 1．已知某物体的运动方程是（的单位：，的单位：），则当时的瞬时速度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用变化率结合极限思想求瞬时速度即可得解. 【详解】 ， 当无限趋近于0时，无限趋近于4， 所以当时的瞬时速度为． 故选：A 2．若，则（ ） A．－4 B．4 C．－1 D．1 【答案】C 【分析】 利用导数的定义直接求解 【详解】 因为，所以． 故选：C 3．函数在处的导数可表示为，即（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 结合导数定义直接选择即可. 【详解】 是的另一种记法，根据导数的定义可知C正确． 故选：C 4．设在处可导，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据导数的定义即可求解. 【详解】 解：∵在处可导， ∴， 故选：C. 5．函数f(x)的图象如图所示，则（ ） A．f′(1)>f′(2)>f′(3) B．f′(2)>f′(1)>f′(3) C．f′(3)>f′(2)>f′(1) D．f′(3)>f′(1)>f′(2) 【答案】C 【详解】 由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1). 6．已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 利用导数的定义求解. 【详解】 因为， ， 所以斜率， ． 故选：C 7．设函数在附近有定义，且有，其中a，b为常数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率，再判断当时，无限趋近于哪一常数，该常数即为所求函数在该点处的导数. 【详解】 因为，所以，则，即. 故选：C. 8．函数在处的导数为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用导数的定义即可求出结果. 【详解】 ，所以函数在处的导数为. 故选：D. 二、多选题 9．(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值（ ） A．与x0有关 B．与h有关 C．与x0无关 D．与h无关 【答案】AD 【分析】 由导数的定义进行判定. 【详解】 由导数的定义，得：， 即函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关. 故选:AD. 10．如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ） A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 【答案】CD 【分析】 由平均速度与瞬时速度的定义求解即可 【详解】 在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误． 瞬时速度为切线斜率，故B错误． 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为，，所以，故C正确．同理D正确． 故选：CD 三、填空题 11．如图所示，水波的半径为的速度向外扩张，当半径为时，该水波面的圆面积的瞬时膨胀率是______． 【答案】 【分析】 根据题意写出水波面的圆面积关于时间t的函数式，求出导函数，再求出水波半径为5时的时间对应的导数值即得. 【详解】 因水波的半径以的速度向外扩张，则时的水波半径，水波面的圆面积， 于是得水波面的圆面积在时刻时的瞬时膨胀率为， 当半径为时，，， 所以该水波面的圆面积的瞬时膨胀率为. 故答案为： 12．若函数在处的导数是8，则________． 【答案】1 【分析】 结合即可求解. 【详解】 根据导数的定义知， ， 解得． 故答案为：1 四、解答题 13．已知某产品的总成本函数为，总成本函数在处导数称为在处的边际成本，用表示.求边际成本并说明它的实际意义. 【答案】，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 【分析】 利用导数的定义计算即可. 【详解】 设时，产量的改变量为， ， 则，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 14．某正方形铁板在时，边长为.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为时正方形的边长为，其中a为常数，设此时正方形的面积为，且，求并解释其实际意义. 【答案】，意义见解析. 【分析】 利用瞬时变化率的定义及其几何意义即可得到答案. 【详解】 依题意可知 . 设时温度的改变量为，则 . 所以. 这表示在时，铁板面积对温度的瞬时变化率为.实际意义是，在时，温度的改变量很小时，铁板面积的改变量的近似值为. 15．为了响应国家节能