【中学教材全解】2013-2014学年（北师大版选修1-1）第四章+导数应用+本章练测（3份，含答案解析）

2 导数在实际问题中的应用（北师大版选修1-1） 建议用时 实际用时 满分 实际得分 45分钟 100分 一、选择题（本题共2小题,每小题5分,共10分） 1.在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为（ ） A. B. C. D. 2.已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥体积最大时,它的高为（ ） A.1 B. C.2 D.3 二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分） 3.周长为20 的矩形，绕一条边所在直线旋转成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为 . 4.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为_______. 5.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 小时时，原油温度为，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是 . 6.某产品的销售收入(万元)是产量(千台)的函数：，生产总成本(万元)也是产量(千台)的函数：，为使利润最大，应生产 千台. 三、解答题（共70分） 7.（12分）某年某日生效的一年期个人贷款利率为7.29%,小陈准备购买一部汽车,购车一年后一次性付清车款,这时正好某商业银行推出一种一年期优惠贷款业务,年利率为，且（0.045,0.062）,贷款量与利率的平方成正比,因此,小陈申请这种一年期优惠贷款. (1)写出小陈应支付的利息; (2)一年期优惠利率为多少时,两款贷款方式的利息差最大? 8.（10分）一个矩形铁皮的长为8 cm,宽为5 cm,要在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子的容积最大？ 9.（14分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测存款量与利率的平方成正比，比例系数为 ( ＞0)，贷款的利率为4.8 %，且银行吸收的存款能全部放贷出去.求： (1)若存款的利率为 , ∈(0，0.048),试写出存款量 及银行应支付给储户的利息 关于x的函数表达式； (2)存款利率定为多少时,银行可获得最大收益？ 10.（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件服装需要另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(10＋2.7x)+W (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式 (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 11.（7分）请你设计一个示意图如下所示的仓库,它的下部形状是高为10 m的正四棱柱(上、下底面都是正方形,且侧面都垂直于底面),上部形状是侧棱长都为30 m的四棱锥,试问当四棱锥的高为多少时,仓库的容积最大? 12.(15分)工厂生产某种电子元件，假设生产一件正品，可获利200元；生产一件次品，则损失100元.已知该厂制造电子元件的过程中，次品率P与日产量x的函数关系是 (1)将该产品的日盈利额T（元）表示为日产量 x（件）的函数； (2)为获得最大利润，该厂的日产量应定为多少件？ 一、选择题 1.B 解析：设圆柱的底面半径为r,由三角形相似的性质得圆柱的高为a－２r, 则圆柱的最大侧面积为当时， 2.C 解析：设底面边长为a，则高 所以体积 设 令解得.当时，，函数在区间（）上是减函数； 当0＜a＜4时，，函数在区间（0，4）上是增函数. ∴ 当时，函数取得最大值，即此时体积最大， 此时 二、填空题 3. EMBED Equation.DSMT4 解析：设矩形与旋转轴平行的一边长为,则另一边长为， 圆柱的体积为 令得(不合题意，舍去). 当；当 因此当时，圆柱的体积取得最大值 4.40 解析：由题设知，令＞0，解得x＞40或x＜-1， 故函数在上递减，在上递增. 故当x=40时，y取得最小值． 由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40． 5.-1 解析： 最小值为-1. 6.6 解析：利润y=-2，利润取得最大值. 三、解答题 7.解：（1）由题意，贷款量为(，应支付利息=. （2）小陈的两种贷款方式的利息差为 , . 令=0，解得或. 当x∈（0.045,0.0486）时，＞0；当x∈（0.0486，0.062）时，＜0. 所以x=0.0486时，两种贷款方式的利息差取得最大值，即一年期优惠利率x为4.86%时, 两种贷款方式的利息差最大. 8.解：设小正方形的边长为 cm，则盒子底面长为，