专题04 二次函数与实际应用（图形问题）-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题04 二次函数与实际应用（图形问题） 1．（2021—2022江苏工业园区·九年级月考）如图，已知边长为4的正方形截去一角成为五边形，其中，在上的一点P，使矩形有最大面积，则矩形的面积最大值是________． 【答案】12 【分析】延长NP交EF于G点，设PG＝x，则PN＝4﹣x，利用平行线构造相似三角形，得出线段的比相等，从而表示矩形PNDM的长、宽，再表示矩形的面积，利用配方法求函数的对称轴，根据x的取值范围求最大值． 【详解】解：如图，延长NP交EF于G点， 设PG＝x，则PN＝4﹣x， ∵PGBF， ∴△APG∽△ABF， ∴＝， 即＝， 解得AG＝2x， ∴MP＝EG＝EA+AG＝2+2x， ∴S矩形PNDM＝PM•PN＝（2+2x）（4﹣x） ＝﹣2x2+6x+8 ＝﹣2（x﹣）2+，（0≤x≤1） ∵﹣2＜0，PG＝x≤BF＝1， ∴抛物线开口向下， 又∵PG＝x≤BF＝1， ∴当x＝1时，函数有最大值为12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了二次函数的最值的运用．关键是设线段的长，利用相似的性质表示矩形的面积，用二次函数的方法解题． 2．（2021·辽宁于洪·中考二模）如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大． 【答案】4 【分析】设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PM⊥OQ,，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PM=，根据三角形面积公式可得面积关于OQ的二次函数，配方后即可求解． 【详解】解：设OP=x，则OQ=8-x， 过点P作PM⊥OQ,交OQ于点M，如图， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴函数图象开口向下，有最大值，为4， 故当OP=4时，花坛的面积最大． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，利用面积法求出二次函数关系式是解答此题的关键． 3．某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则___________cm． 【答案】 【分析】 以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN=21，根据题意写出抛物线解析式y=a（x65）2+21（a＜0），然后通过旋转求出D′坐标，再把D′坐标代入抛物线求出a，再令y=0解一元二次方程求出E对岸坐标即可． 【详解】 解：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图， 设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN=21， ∴AB=274， ∵GH是AB正中间， ∴AH=AB=137， ∴AM=AH-MH=13772=65， 设抛物线为：y=a（x-65）2+21（a＜0）， 过D′作D′P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P， 则∠CQD′=∠APQ=90°， ∵旋转45°， ∴CD′=， CQ=D′Q=CD′cos∠D′CD=5， ∴D′P=D′Q+PQ=5+12=17， ∴D′（5，17）代入抛物线得： a×（5-65）2+21=17， ∴， ∴y=（x65）2+21， 令y=0，则（x65）2+21=0， 解得：x1=65+30，x2=65-30（舍去）， ∴E（65+30，0）， ∴EB=AB-AE=274-（65+30）=（209-30）（cm）， 故答案为：20930． 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用，关键是建坐标系通过题意画出二次函数的图象． 4．（2020·四川巴中·中考真题）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径，；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为_________． 【答案】 【分析】 记AB与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径AB＝2，OE＝2得出点B（1，1），由点B坐标求出直线BC解析式，据此得出点C坐标，继而得出点D坐标，将点D坐标代入右侧抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+1，求出a的值即可得出答案． 【详解】 解：记AB与y轴的交点为F， ∵AB＝2，且半圆关于y轴对称， ∴FA＝FB＝FE＝1， ∵OE＝2， ∴， 则右侧抛物线的顶点B坐标为， 将点代入得， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， 则， 设右侧抛物线解析式为， 将点代入解析式得