专题03 二次函数与实际应用（销售利润问题）-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题03 二次函数与实际应用（销售利润问题） 1．（2021·辽宁丹东·中考真题）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；（2）70元；（3）80元． 【分析】 （1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可； （2）根据题意，按照等量关系“销售量（售价成本）”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价； （3）设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可． 【详解】 解：（1）∵依题意得， ∴与的函数关系式为； （2）∵依题意得， 即， 解得：，， ∵ ∴当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元； （3）设每月总利润为，依题意得 ∵，此图象开口向下 ∴当时， 有最大值为：（元）， ∴当销售单价为元时利润最大，最大利润为元， 故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． 2．（2021·辽宁锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50＋0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式； （3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）． 【答案】（1）；（2）；（3）原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元 【分析】 （1）利用待定系数法求函数关系式； （2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式； （3）设销售总利润为W，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】 解：（1）设y与x之间的函数关系式为， 将（20，15），（30，12.5）代入， 可得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）设销售收入为P（万元）， ∴， ∴P与x之间的函数关系式为； （3）设销售总利润为W， ∴， 整理，可得：， ∵﹣＜0， ∴当时，W有最大值为， ∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键． 3．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台． （1）当时，完成以下两个问题： ①请补全下面的表格： A型 B型 车床数量/台 ________ 每台车床获利/万元 10 ________ ②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？ （2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润． 【答案】（1）①，；②10台；（2）分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元 【分析】 （1）①由题意可知，生产并销售B型车床x台时，生产A型车床（14-x）台，当时，每台就要比17万元少（）万元，所以每台获利，也就是（）万元； ②根据题意可得根据题意：然后解方程即可； （2）当0≤≤4时，W＝＋＝，当4＜≤14时， W＝，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案. 【详解】 解：（1）当时，每台就要比17万元少（）万元 所以每台获利，也就是（）万元 ①补全表格如下面： A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 ②此时，由A型获得的利润是10（）万元， 由B型可获得利润为万元， 根据题意：， ， ，∵0≤≤14， ∴， 即应