专题01 二次函数图象与系数a、b、c相关结论的判断问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）

专题01 二次函数图象与系数a、b、c相关结论的判断问题 一、单选题 1．（2021·山东烟台招远市中考一模）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】 从抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点，函数的增减性等去分析判断即可． 【详解】 ∵从图象上看出,直线x=1与抛物线的交点位于第四象限， ∴，故①正确； ∵从图象上看出,直线x= -1时，函数有最大值，y=a-b+c， 当x=0时，函数值为y=c=1， ∴，故②正确； ∵-＜0， ∴ab＞0， ∵c=1, ∴，故③正确； ∵，b=2a， ∴，故④正确； ∵，b=2a， ∴，故⑤正确． 故选D． 【点睛】 本题考查了抛物线与各系数之间的关系，对称轴，函数的增减性，最值，与坐标轴的交点，读懂函数图象，明确各代数式的意义是解题的关键． 2．（2021·四川广安市中考真题）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x=-2时，y＞0，可判断②；再根据x=-1时，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x=1时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x=-1，即， ∴b=2a，则b＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故①正确； ∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间， 则与x轴的另一个交点在-2和-3之间， ∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误； ∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c， ∴a-b+c≥ax2+bx+c， ∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确； ∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a， ∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确； 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 3．（2021·广东肇庆市九年级月考）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 观察抛物线与x轴的交点情况即可对①作出判断；根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置即可对②作出判断；根据抛物线的对称轴为直线x=1，即可对③作出判断；观察图象当x=-2时，y>0，从而可对④作出判断；观察图象当x=3时，y<0，从而可对⑤作出判断． 【详解】 抛物线与轴有两个交点， ，即， 故①正确； 抛物线开口向上， ， 对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ， 故②正确； ， ， 故③错误； 时，， ，即， 故④错误； 根据抛物线的对称性可知，当时，， ， 故⑤正确， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，涉及数形结合；对于此类问题，一般是看抛物线的开口方向可确定a的符号、看对称轴的位置可确定b的符号、看抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，看抛物线与x轴交点的个数确定判别式的符号，根据函数图象可确定的符号．关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 4．（2021·黑龙江牡丹江市中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可 【详解】 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n）， ∴对称轴x=， ∴b=-2a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间 ∴-3＜c＜-2＜0， ∴0；故①正确； ∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0）， ∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0