专题强化练6空间向量与立体几何的综合应用 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第三章

专题强化练6　空间向量与立体几何的综合应用 解答题 1.(2018安徽合肥高三二检,★★☆)如图1,在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,E为AD的中点,沿BE将△ABE折起至△PBE的位置,如图2,点P在平面BCDE上的射影O落在BE上. (1)求证:BP⊥CE; (2)求二面角B-PC-D的余弦值. 2.(2019福建长泰一中高二期末,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,BD=,∠ABD=90°,将△ABD沿对角线BD折起,使得AC=2. (1)求证:平面ABD⊥平面BCD; (2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值; (3)E为线段AC上的一个动点,当线段EC的长为多少时,DE与平面BCD所成角的正弦值为? 3.(2019湖北大冶一中高二月考,★★★)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB⊥底面ABCD,PA⊥PB. (1)求证:平面PAD⊥平面PBC; (2)当三棱锥P-ABC的体积最大时,求二面角B-AC-P的余弦值. 4. (2020北京丰台高三期末,★★★)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠BAC=,AA1=AB=AC=1,H为CC1的中点. (1)求证:AB⊥A1C; (2)求二面角A1-BC-A的余弦值; (3)问:在棱A1B1上是否存在点N,使得HN∥平面A1BC?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 答案全解全析 解答题 1.解析　(1)证明:∵点P在平面BCDE上的射影O落在BE上, ∴PO⊥平面BCDE,∴PO⊥CE. 由题意知BE⊥CE,又PO∩BE=O, ∴CE⊥平面PBE, ∵BP⊂平面PBE,∴BP⊥CE. (2)以O为坐标原点,过点O且平行于CD的直线为x轴,过点O且平行于BC的直线为y轴,PO所在的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 易知O为BE的中点, 则B,C, D,P, ∴=(-1,0,0),=,=,=(0,2,0). 设平面PCD的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则 即令z1=, 可得n1=为平面PCD的一个法向量. 设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则即 令z2=,可得n2=(2,0,)为平面PBC的一个法向量. ∴cos<n1,n2>==, 由题图可知,二面角B-PC-D的平面角为钝角,故二面角B-PC-D的