专题强化练5 定值、定点以及探索性问题-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第二章

专题强化练5　定值、定点以及探索性问题 解答题 1.(2019江苏南通适应性考试,★★☆)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A,B两点,点B在x轴的上方,且横坐标为4. (1)求抛物线C的标准方程; (2)设点P为抛物线C上异于A,B的点,直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E,G两点,x轴与准线的交点为H,求证:|HG|·|HE|为定值. 2.(2019福建泉州泉港高二期末,★★★)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四个点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l:y=kx+m(m≠1)与椭圆C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,试说明直线l必过定点,并求出该定点的坐标. 3.(2019北京房山二模,★★★)已知抛物线x2=2py(p>0)过点(2,1). (1)求抛物线的方程和焦点坐标; (2)过点A(0,-4)的直线l与抛物线交于两点M,N,点M关于y轴的对称点为T,试判断直线TN是否过定点,并加以证明. 4.(2018江西南昌模拟,★★★)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,且过点,直线l与椭圆交于A,B两点(A,B两点不是左、右顶点),当直线l的斜率为时,弦AB的中点D在直线y=-x上. (1)求椭圆C的方程; (2)若以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点,判断直线l是否经过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 答案全解全析 解答题 1.解析　(1)由题意得F. 因为点B的横坐标为4,且B在x轴的上方, 所以B(4,). 因为直线AB的斜率为, 所以=,整理得p+3·-8=0, 即(-)(+4)=0,又p>0,则p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)证明:易得B(4,4),抛物线的准线方程为x=-1, 直线l的方程为y=(x-1), 由解得x=或x=4, 所以A. 设P,由题意得n≠±1且n≠±4, 所以直线PA的方程为y+1=.令x=-1,得y=-, 则|HE|=, 同理可得|HG|=, 所以|HG|·|HE|=·=4. 故|HG|·|HE|为定值. 2.解析　(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故P3,P4两点在椭圆C上, 所以+=1. 又+>+,所以C不经过点P1, 所以点P2在C上,