第59练 二项式定理-2022届新高考核心考点小题特训精编

第59练 二项式定理 1、 单选题 1.已知，则（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【解析】，即，得.故选B. 2. 的展开式中，含项的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以含项的系数为.故选A 3.已知，则（ ） A．81 B．80 C．65 D．64 【答案】B 【解析】因为,令，可得，即；令，可得，即，所以.故选B. 4. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（ ） A．14 B． C．240 D． 【答案】C 【解析】二项展开式的第项的通项公式为， 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：．即，解得或（舍去）．所以， 令，解得，所以的系数为．故选C． 5. 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令1，得展开式的各项系数和为，，， ，所求展开式中常数项为的展开式的常数项与项的系数和，展开式的通项为，令得；令，无整数解，∴展开式中常数项为，故选D． 6.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ） A．110 B．114 C．124 D．125 【答案】B 【解析】由题意，次二项式系数对应的杨辉三角形的第行，令，可得二项展开式的二项式系数的和，其中第1行为，第2行为，第3行为， 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前行的数字之和为，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为 可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则，令，解得，所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即，即前15项的数字之和为114，故选B. 7. 若，，0，1，2，3，…，6，则的值为( ) A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】在中， 令得， 由，可得，故．故选C． 8.（2021·山东德州高三质检）展开所得关于的多项式中，系数为有理数的共有（ ）项 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】展开式的通项为，故需为的倍数，以内的倍数共有个，故选. 2、 多选题 9.对于二项式，以下判断正确的有（ ） A．存在，展开式中有常数项； B．对任意，展开式中没有常数项； C．对任意，展开式中没有的一次项； D．存在，展开式中有的一次项. 【答案】AD 【解析】设二项式展开式的通项公式为，则，不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确,故选AD. 10.展开式中系数最大的项（ ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【答案】BC 【解析】的展开式的通项公式为 ，其展开式的各项系数依次为1、4、7、7、、、、、，所以，展开式中系数最大的项是第3项和第4项．故选． 11.关于二项式及其展开式，则（ ） A.该二项展开式中非常数项的系数和是-1 B.该二项展开式中第六项为 C.该二项展开式中不含有理项 D.当时，除以100的余数是1. 【答案】AD 【解析】因为二项式的展开式的第项为， 对于A，当时，得到常数项为；又二项式的展开式的各项系数和为 ，所以该二项展开式中非常数项的系数和是；故A正确；对于B，因为该二项展开式中第六项为，故B错误；对于C，当时，对应的各项均为有理项；故C错误；对于D，当时，因为显然是的倍数，能被整除，而 ，，所以除以100的余数是1. 故D正确； 故选AD. 12.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（ ） A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致 B．第10行从左边数第三个数为 C． D． 【答案】BCD 【解析】 对于A，“杨辉三角”每行数左右对称，由1开始逐渐变大，而“莱布尼茨三角形” 每行数左右对称，从第3行开始，由行数的倒数开始逐渐变小，A不正确； 对于B，“莱布尼茨三角形”的一个数是它脚下两数的和，则第9行的第二个数为，第10行的第二个数为， 于是得第10行的第三个数为，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D， ，D正确. 故选：BCD 三、填空题 13.若展开式中只有第六项的二项式系数