第54练 圆锥曲线中的综合问题-2022届新高考核心考点小题特训精编

第54练 圆锥曲线中的综合问题 1、 单选题 1.抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(　　) A.x3＝x1＋x2 B.x1x2＝x1x3＋x2x3 C.x1＋x2＋x3＝0 D.x1x2＋x2x3＋x3x1＝0 解析　由消去y得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，令kx＋b＝0得x3＝－，所以x1x2＝x1x3＋x2x3. 答案　B 2.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1·k2的值为(　　) A.2 B.3 C. D. 解析　由题意知，e＝＝＝2⇒b2＝3a2，则双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A(m，n)，M(x0，y0)(x0≠±m)，则B(－m，－n)，k1·k2＝·＝＝＝3. 答案　B 3.直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(　　) A.(－3，0) B.(0，－3) C.(3，0) D.(0，3) 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.设直线l：x＝my＋b，代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点为(－3，0). 答案　A 4.设点Q是直线l：x＝－1上任意一点，过点Q作抛物线C：y2＝4x的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，F是抛物线的焦点，直线QF的斜率为k0，则下列结论正确的是(　　) A.k1－k2＝k0 B.k1k2＝2k0 C.k1－k2＝2k0 D.k1＋k2＝2k0 解析　设点Q(－1，t)，由过点Q的直线y－t＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x相切，联立方程得整理得k2x2＋2(k2＋kt－2)x＋(k＋t)2＝0，则Δ＝4(k2＋kt－2)2－4k2(k＋t)2＝0，化简得k2＋tk－1＝0.显然k1，k2是关于k的方程k2＋tk－1＝0的两个根，所以k1＋k2＝－t. 又k0＝－，故k1＋k2＝2k0. 答案　D 5.已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝(　　) A.1 B.2 C.4 D. 解析　如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1. 答案　A 6.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，＋＋＝0，O为坐标原点，且△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3，则S＋S＋S等于(　　) A.2 B.3 C.6 D.9 解析　由题意可知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，＝(x3－1，y3)，由＋＋＝0，得(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3. 又A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线上，所以y＝4x1，y＝4x2，y＝4x3，又S1＝·|OF|·|y1|＝|y1|，S2＝|OF|·|y2|＝|y2|，S3＝|OF|·|y3|＝|y3|，所以S＋S＋S＝(y＋y＋y)＝×(4x1＋4x2＋4x3)＝3. 答案　B 7.已知直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则·的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.与P的位置有关 解析　依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x－4y＝4，则直线l的方程是－y0y＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y＝±x. ①当y0＝0时，直线l的方程是x＝2或x＝－2. 由得此时·＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l的方程是x＝－2时，·＝3. ②当y0≠0时，直线l的方程是y＝(x0x－4). 由得(4y－x)x2＋8x0x－16＝0(*)，又x－4y＝4，因此(*)即是x2－2x0x＋4＝0，x1x2＝4，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2－x1x2＝x1x2＝3. 综上所述，·＝3. 答案　A 8.（2