第53练 直线与圆锥曲线-2022届新高考核心考点小题特训精编

第53练 直线与圆锥曲线 1、 单选题 1.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　) A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞) C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞) 解析　由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0. 由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且m≠3. 答案　B 2.设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　) A.± B.± C.± D.±2 解析　由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k>0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1＝－，y2＝，解得k＝；同理可得当k<0时k＝－. 答案　A 3.椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 解析　设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144，4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－. 答案　A 4. 已知双曲线－＝1(a，b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m的值为(　　) A.　　　 B. C．2 D．3 解析：由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2，所以抛物线的方程为y＝2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝2x，y2＝2x，两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x1<x2，又A，B关于直线y＝x＋m对称，所以＝－1，故x1＋x2＝－，而x1x2＝－，解得x1＝－1，x2＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝＝＝，因为中点M在直线y＝x＋m上，所以＝－＋m，解得m＝，选A. 答案：A 5.斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A.2 B. C. D. 解析　设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意知Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0即t2<5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，|AB|＝＝≤(当且仅当t＝0时取等号). 答案　C 6. 已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2－x1的最小值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．3 解析：因为l与圆相切，所以原点到直线的距离d＝＝1， 所以m2＝1＋k2，由得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0， 所以 所以k2＜1，所以－1＜k＜1，由于x1＋x2＝， 所以x2－x1＝＝＝， 因为0≤k2＜1，所以当k2＝0时，x2－x1取最小值2.故选A. 答案：A. 7.（2020·上海市建平中学高三期末）已知椭圆C:对于任意实数下列直线中被椭圆C截得的弦长与直线被椭圆C截得的弦长一定相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为这两直线关于纵轴对称,而椭圆关于坐标轴对称,因此这两直线截得椭圆C的弦长相等，所以选项C是正确的,当时截得椭圆C的弦长不同，所以A,B,D是错误的；故选:C. 8.（2021·山西太原市古交一中期中）已知双曲线，若存在过右焦点的直线与双曲线交于，两点，且，则双曲线离心率的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A、B两点，且，故直线与双曲线相交只能交于左右两只，即A 在左支，B在右支，设 ， ，右焦点，因为，所以 ， ，由于，所以 ，故，即 即 ，选C. 2、 多选题 9.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ） A．为等比数列 B． C． 轴，且 D．四边形的内切圆过焦点 【答案】BD 【解析】, ，, 对于：为等比数列,则, ,, 不满足条件，故错误； 对于：,, , 即解得或（舍去）满足条件 故正确； 对于： 轴，且,,即解得, ,不满足题意，故错误； 对于：四边形的内切圆过焦点, 即四边形的内切圆的半径为，,, 解得（舍去）或, ,故正确,故选. 10