第52练 抛物线-2022届新高考核心考点小题特训精编

第52练 抛物线 1、 单选题 1.抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为(　　) A.2 B.1 C. D. 解析　由y＝4x2得x2＝y，所以2p＝，p＝，则抛物线的焦点到准线的距离为. 答案　D 2.已知点F是抛物线y2＝2x的焦点，M，N是该抛物线上的两点，若|MF|＋|NF|＝4，则线段MN的中点的横坐标为(　　) A. B.2 C. D.3 解析　∵点F是抛物线y2＝2x的焦点，∴F，准线方程为x＝－， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴|MF|＋|NF|＝x1＋＋x2＋＝4， ∴x1＋x2＝3，∴线段MN中点的横坐标为. 答案　A 3.设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为(　　) A. B. C.或 D.或 解析　如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，又0＜∠EAF＜π，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为. 答案　C 4.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　) A.x2＝8y B.x2＝4y C.y2＝8x D.y2＝4x 解析　由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，联立消去x得y2－2pmy－p2＝0，显然方程有两个不等实根. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2， 得·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x. 答案　C 5.已知点A(0，2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若＝，则p的值等于(　　) A. B.2 C.4 D.8 解析　过点M作抛物线的准线的垂线，垂足为点M′，则易得|MM′|＝|MF|，所以cos∠NMM′＝＝＝，则kAM＝－tan∠NMM′＝－＝－2，则直线AM的方程为y－2＝－2x，令y＝0得抛物线的焦点坐标F(1，0)，则p＝2×1＝2，故选B. 答案　B 6.过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为(　　) A. B. C. D. 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E，F，即E，F，因为这两条切线都过点P(2，－1)，则 所以lAB：x＝－1＋y，即lAB过定点(0，1)， 则＝＝. 答案　C 7. (2020·江西九江二模)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，连接AF并延长交抛物线C于点D，若AB中点的纵坐标为|AB|－1，则当∠AFB最大时，|AD|＝(　　) A．4 B．8 C．16 D． 答案：C 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)， 由抛物线定义得y1＋y2＋2＝|AF|＋|BF|， 因为＝|AB|－1， 所以|AF|＋|BF|＝2|AB|， 所以cos∠AFB＝ ＝ ≥＝， 当且仅当|AF|＝|BF|时取等号． 所以当∠AFB最大时，△AFB为等边三角形， 联立消去y得，x2－4x－4＝0， 所以x1＋x3＝4， 所以y1＋y3＝(x1＋x3)＋2＝14. 所以|AD|＝16.故选C. 8.(2020·河南商丘高二段考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，则S△AOB＝(　　) A．2 B． C. D．3 答案：A 解析：如图所示，F(1，0)．设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点E(x0，y0)． 则线段AB的垂直平分线的方程为y＝－(x－5)． 联立化为ky2－4y－4k＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－4，所以y0＝(y1＋y2)＝，x0＝＋1＝＋1，把E代入线段AB的垂直平分线的方程y＝－(x－5)，可得＝－·，解得k2＝1. S△OAB＝×1×|y1－y2|＝＝＝2.故选A. 2、 多选题 9. 已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的长是16，的中点到轴的距离是6，是坐标原点，则（ ）． A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线方程是 C．直线的方程是