第51练 双曲线-2022届新高考核心考点小题特训精编

第51练 双曲线 1、 单选题 1.设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±2x 解析　因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. 答案　B 2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为(　　) A. B.2 C. D.2 解析　法一　由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2. 法二　离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2. 答案　D 3.双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(　　) A.8 B.10 C.4＋3 D.3＋3 解析：由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10. 答案：B 4.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为(　　) A.x2－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　由题意可知e＝＝，可得＝，取一条渐近线为y＝x， 可得F到渐近线y＝x的距离d＝＝b，在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|＝＝＝a，由题意可得ab＝，联立解得所以双曲线的方程为－＝1. 答案　C 5.过双曲线的左、右焦点分别作两条渐近线的平行线，所作的这4条直线所围成的四边形的周长为12a，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过右焦点与渐近线平行的一条直线方程为，令，，∵这四条直线所围成的四边形周长为，+，所以渐近线方程为，故选C. 6.已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 解析　不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝. 由余弦定理，可得＝，即(a－c)2＝0，所以c＝a，则b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x. 答案　D 7.（2021·河北衡水中学高三月考）下列三图中的多边形均为正多边形，，是所在边的中点，双曲线均以图中的，为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为，，、则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】①设等边三角形的边长为2， 以底边为轴，以底边的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 则双曲线的焦点为，且过点，， ，到两个焦点，的距离分别是和， ，，． ②正方形的边长为， 分别以两条对角线为轴和轴，建立平面直角坐标系， 则双曲线的焦点坐标为和，且过点． 点到两个焦点，的距离分别是和， ，，． ③设正六边形的边长为2， 以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 则双曲线的焦点为和，且过点， 点到两个焦点和的距离分别为和2， ，，， 所以．故选． 8.（2020·天津宝坻高三模拟）设点F1，F2分别是双曲线C:的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A．y=± B．y=± C．y=± D．y=± 【答案】D 【解析】设，则， ∴，∴，∴． 又，∴， ∴，∴． ∴该双曲线的渐近线方程为．选D． 2、 多选题 9. 已知点在双曲线上，、是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则下列说法正确的有（ ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【解析】因为双曲线，所以. 又因为，所以，所以选项A错误； 将代入得，即. 由对称性，不妨取的坐标为，可知. 由双曲线定义可知， 所以，所以选项B正确； 由对称性，对于上面点，在中，. 且，则为钝角，所以为钝角三角形，选项C正确； 由余弦定理得，，所以选项D错误.故选BC. 10