四川省仁寿县第一中学2020-2021学年高三数学二轮复习导数大题10种主要题型（二）同步练习

导数大题10种主要题型（二）限时作业 1．已知函数f（x）＝ex﹣ax（a∈R）有两个零点． （1）求实数a的取值范围； （2）若函数f（x）的两个零点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2． 2．已知二次函数g（x）对∀x∈R都满足g（x﹣1）+g（1﹣x）＝x2﹣2x﹣1，且g（1）＝﹣1，设函数f（x）＝g（x+）+mlnx+（m∈R，x＞0）． （Ⅰ）求g（x）的表达式； （Ⅱ）若∃x∈R+，使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围； （Ⅲ）设1＜m≤e，H（x）＝f（x）﹣（m+l）x，求证：对于∀x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）﹣H（x2）|＜1． 3．已知函数f（x）＝（a∈R），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1＝0垂直． （Ⅰ）试比较20162017与20172016的大小，并说明理由； （Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣k有两个不同的零点x1，x2，证明：x1•x2＞e2． 导数大题10种主要题型（二）限时作业 1． 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a的范围； （2）由ex1＝ax1，ex2＝ax2 得x1＝lna+lnx1，x2＝lna+lnx2；得到所以x1+x2＝；构造函数h（t）＝lnt﹣，求证即可． 【解答】解：（1）由f（x）＝ex﹣ax，得f'（x）＝ex﹣a， 当a＜0时，f（x）在R上为增函数， 函数f（x）最多有一个零点，不符合题意，所以a＞0． 当a＞0时，f'（x）＝ex﹣a＝ex﹣elna f'（x）＜0⇔x＜lna；f'（x）＞0⇔x＞lna； 所以f（x）在（﹣∞，lna）上为减函数，在（lna，+∞）上为增函数； 所以f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna； 若函数f（x）有两个零点，则f（lna）＜0⇒a＞e； 当a＞e时，f（0）＝1＞0，f（1）＝e﹣a＜0； f（3a）＝（ea）3﹣3a2＞0； 由零点存在定理，函数f（x）在（0，1）和（1，3a）上各有一个零点． 结合函数f（x）的单调性，当a＞e时，函数f（x）有且仅有两个零点， 所以，a的取值范围为（e，+∞）． （2）证明：由（1）得a＞e，0＜x1＜x2； 由ex1＝ax1，ex2＝ax2 得x1＝lna+lnx1，x2＝lna+lnx2； 所以x2﹣x1＝lnx2﹣lnx1＝l