专题05 圆锥曲线技巧提升篇05——参数引入与直线假设以及答题优化-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专项突破

专题05 参数引入与直线假设以及运算优化 参数引入与直线假设 解析几何基本都是在动态范围下的情形探究，变化的主体以点和线为主，因此在参数的引入上， 主要也是以点坐标和直线斜率、截距相关，即设点与设线．引入参数就意味着需要消参，需要通过 条件中的信息转化建立参数之间的关系． 在核心条件翻译部分我们就提到，条件翻译的不同，必然导致参数的引入也会不同，最终决定 运算量的不同．因此除了合理优化核心条件的翻译外，在参数的引入中，原则是字母尽量越少越好， 尽量所有的信息都能用引入的参数表示． 在第一部分内容中，我们所列出的核心信息的翻译，都是通过点坐标在表达，最终整理为韦达 定理形式，由于此时的点是直线和曲线的交点，自然就还需要再设线，联立直线与曲线得到韦达定 理后进一步求解，设点和设线相结合，这也是最常见的情形．当然，有些题型韦达定理的形式并不 适用，而只需通过点坐标进行表达即可． 引参情形一：设点 如果变化主体为点，且这些点相对独立，通常不是直线和曲线的两个交点，对于此类情形，引 参时通常考虑设点即可． 设点后，所有的量都用引入的点坐标表示．此外，为了使计算和形式更加简便简洁，我们也可 以先假设多个变量，根据已知信息建立变量间的关系，实现消参．来看一道例题： 【例题1 全国II卷理科20】 设O为坐标原点，动点P为圆点，点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于的直线l过点(－1，0)． 巩固练习1 【全国I卷.文.20】 在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H． (1)求 (2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点? 说明理由． 引参情形二：设点、设线结合 如果变化主体为线，且变化的点为该直线和曲线的交点，对于此类情形，引参时通常考虑设点 与设线结合，通过联立后的韦达定理建立参数关系． 设点、设线结合是最为常见的情形，这也是韦达定理的关键纽带作用． 设线一般有两种形式，一是正设直线，即形式；二是反设直线，即形式． 那么正设和反设该如何选择呢？需要记住两个要点： 1．正设直线联立后倾向于消去y，反设直线联立后倾向于消去x； 2．引参的目的在于更好地服务核心条件和目标信息坐标化后的内容，若核心条件或目标信息坐标化后的形式以x为主，则倾向于正设直线，再代换y；如果形式以y为主，则倾向于反设直线，再代换x． 有了以上两点认识，再来说说直线的选择问题． 先说反设直线，对于反设直线来说，通过直线方程x＝ty＋m不难发现，此时不能表示与x轴平行的直线，若由题意可得出动直线一定不水平，即可考虑反设直线，这样能够免去讨论斜率是否存在．另一方面，若动直线过x轴上定点，也多考虑反设直线．此外，如果曲线为形如的抛物线，反设直线再联立也要更加快捷． 即反设直线的特征为： ①核心条件与目标信息形式以y为主； ②直线过x轴上定点； ③曲线为形如的抛物线． 除此之外的情形，一般都正设直线．但正设直线引入了参数k，即直线斜率，因此正设直线时，直线斜率必须存在，故需要对题干信息加以分析，若动直线斜率不存在，即垂直于x轴也符合题意时，则需要对斜率是否存在分类讨论． 直线的选择需综合正设、反设两种形式的特征及坐标化后的表达形式，择优选取，但以两个要点，特别是要点2为主．例如，已知动直线过x轴上的定点，但核心条件及目标信息坐标化后以x的形式为主，那么还是优先考虑正设直线，并对斜率是否存在进行讨论．而如果坐标化后x、y两种形式区别不大，那么优先考虑反设直线． 直线的形式会对后续的计算产生一定影响，因此选择合适的直线形式，也是优化计算的关键之一，对于其他优化计算的方式方法，后续也还会再作补充． 例题2【北京高考理.18】 已知抛物线，点．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．求证：A为线段BM的中点． 【练习】 如图，椭圆的下顶点为A(0，－1)，经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P、Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ斜率之和为2． 此外，在圆锥曲线，尤其是椭圆中，还有一类相对较为特殊的情形，即直线过曲线上已知的一点且和曲线还有另一交点，这相当于告诉我们联立后二次方程的其中一根，那么结合韦达定理，就能迅速求出另一交点坐标了．这类情形出现还是颇多的，已知的点通常也以椭圆的顶点为主．结合直线的正设反设，如果已知点是左右顶点(±a，0)，那么优先考虑反设直线，这样联立消x后，得到关于y的韦达，由于已知点纵坐标为零，因此韦达定理中两根之和其实就是另一点的纵坐标．已知点是上下顶点，则优先考虑正设直线，原理同上．这点在后面也还会详细讲解． 运算优化 在参数引入部分我们提到