专题6 课时作业27 最值与范围问题-【红对勾讲与练】2026年高考数学二轮复习练习手册

班级： 姓名： 课时作业27 最值与范围问题 (分值：60分) 1.15分)(2025·安微豫州一桃)已知椭圆C, 2.(15分)(2025·甘肃白银三模)已知双曲线C: =1(a>6>0)的焦距为2，且经过点 y2 示=1a>06>0)的渐近线方程为)= 2x, P(1,),M为C的右顶点，过点P的直线1与C 且其焦距为2√3 得分 (1)求双曲线C的方程； 交于点Q(异于点M). 得分 (2)若直线l:y=kx十t(kt≠0)与双曲线C交于 (1)求C的标准方程； 不同的两点P,Q,且在由点P,Q与M(0,1)构成 (2)求△PQM面积的最大值. 的三角形中，∠MPQ=∠MQP,求实数t的取值 范围. (横线下方不可作答)223专题六平面解析几何 3.(15分)(2025·重庆黔江区二模)已知抛物线C: 4.(15分)(2025·天津红桥区一模)已知椭圆E: x2=2y(p>0)的焦点为F(0,1),过点F的直线 L与C交于A,B两点，过A,B作C的切线l1,l2交 2十1(a≥b0)的离心率为，以椭圆B 于点M,且l1,l2与x轴分别交于点D,E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4√5. 得分 得分 (1)求证：|DE|=MF|; (1)求椭圆E的方程； (2)设点P是C上异于A,B的一点，P到直线l1, (2)已知点A(0,一2)，过点P(0,一3)且斜率为 乙1的距离分别为ddd,求的最小值 k(k>0)的直线1与椭圆E相交于不同的两点B, C,直线AB,AC分别与直线y=-3交于点M,N, 当|PM|+|PN|≤15时，求斜率的取值范围. 红对勾讲与练 224高三二轮数学 ■所以|PQ|=√1+kQ1x1一x2|= √/1+k@ √(x1+x2)-4.x1x2 i+ X+6= /119 4 点F,到直线PQ的距离d 1-8+3 5 /4+64 2√17 所以四边形F1PFQ 的面积 S= |PQ|·d= /119 、 5 5√7 4 217 8 课时作业27 最值与范围问题 1.解：(1)由题意知c=1,故a2一b2=1, 把P(1,号)代入椭圆方程中得到 人9 469 =1,解得a2=4,b2=3,所 以C的标准方程为2+ =1. (2)由题意知M(2,0),|PM = -1-2+(g-0 3W5 ,直 2 线PM的方程为y=- 2x+1, 设与直线PM平行的直线m的方程为 y=1 x十t, 如图，当直线m与椭圆相切时，切点到 直线PM的距离取得最大值，即当Q 为切点时，△PQM的面积最大， M 把y=一之x十：代入圆方程中得 1 4x2-4tx+4t2-12=0, 当直线m与椭圆相切时，距离最大， 故有△=0，即△=16t2一16(4t 12)=0, 所以t2=4,即t=士2，当t=一2时， 1 y= 2x-2与y=- 2x+1之间 的距离即为椭圆上点到直线PM距离 的最大值， 最大距离d=」 -2-11 6W5 +王 5 所以△PQM面积的最大值为 3PM·t 2 X 35 2 X 6√5 9 5 21 2.解：(1)，渐近线方程为y=士 2 ∴.a2=2b2. 又a2+b2=c2=3,a=√2，b= 1小双前线C的方程为写-y=1 (2)如图，：直线1与双曲线C交于不 同的两点P,Q, 由2y=1得1-2k)x y=kx十t, 4kt.x-2t2-2=0, .△=16k2t2-4(1-2k2)(-2t2 2)>0,且1-2k2≠0，.t2+1>2k2, 且k≠士2 设P(x1y1),Q(x2y2),则x1十 Akt -2t2-2 4=1-2212:=1-26， +y:=kz +t+kz:+t= 4k't 2t 12欢+24=1-2 ∴.线段PQ的中点坐标为 t （20、 ∴.线段PQ的垂直平分线的方程为 t 2kt y 1-2k2 友（x-126),即 3t y=-+12 又在由点P,Q与M(0,1)构成的三角 形中，∠MPQ=∠MQP, ∴.点M不在直线PQ上，而是在线段 PQ的垂直平分线上， 1-261-2k2=3. 3t .1≠t,1= 又+1>2，k≠士 31<1且 +31>0,解得t<-3或0<t<3 ∴.实数t的取值范围是（一©∞，一3）U 3.解：(1)证明：因为抛物线C的焦点为 F(0,1),所以力=2，即C的方程为 x2=4y,如图所示. 设点A(x1,y1),B(x2y:), 由题意可知直线！的斜率一定存在，设 1:y=kx+1, 联立何=1，得-他 4=0, 所以工1十x:=4k,x1x:=一4. 1 由x=,得y=有w= 22,所 以1y-1=号x-.即y 令y=0,得x=2,即D(传，0 同理1w=号-，且E(号0) 所以1DE1=号1x, = 2+)-4 2√k2+1. 2 4 由 得 = y 2k 即 =一1， 4 M(2k, 1),所以1 MF= √4k2+4=2/k2+1. 故|DE|=|MFI. (2)设点P(xoyo),结合(1)知11：y y1= (x-x1),即l1:2x1x-4y 2 xi=0, 因为x=4y1,x号=4y0,所以d1= 2x1x0-4y。-xi √/4.x+16 2x12o-x6-zil (x1-x) √/4x+16 2vzi+4 同理可得d2= (E2-2o)2 2√+4 所以dd2= (x1-x)(x-x)月 2W/xi+42√+4 [x1x:-xo(x1十x2)十x] 4Wxx+4(x+x)+16 (-4-4kx0+x8) 32√k2+1 又d= 1kx0-y+1 √R+1 kx一4 +1 |4k.x0-x8+41 √k+1 4√k2+1 did 所以 = (-4-4kx0+x8) d 32√k2+1 16(k+1) (4kx。-x8+4) ,≥ 2 当且仅当k=0时，等号成立， 即当直线1的斜率为0时，日 取最小 值 2 4,解：1)由椭圆E:三+ 6=1(a> b>0)的离心率为 5 ，且以椭圆E的 四个顶点为顶点的四边形的面积为4√5， 5 5 可得 1 X2aX2b=45,解得 a2=b2+c2, {a=5·所以椭圆E方程为 b=2, 4 =1. 参考答案 375 (2)设直线1：y=k.x一3，联立方程组 5 =1 整理得(5k2+4)x2 y =kx-3, 30kx+25=0. 则△=(-30k)2一4(5k2+4)×25> 0且k>0,可得k2>1,所以k>1. 如图，设B(x1y1),C(x2y2),则 30k x1十x2= 5k2+4 则直线AB的方 25 5k2+4 程为y= y1+2 x-2,与直线y=一3 交于点M(十2-3小 直线AC的方程为y=必+2 一x一2，与直 线二3交于点N(十2-3) 当|PM+|PN15时，由题意知 T2 <0,一 <0,则 y1+2 y2+2 T2 y1+2 y2+2 ≤15， 将y1=kx1一3，y2=kx2一3代入可 得 y1+2 y+2=kx1- To 2kx1x2-（x1+x2) kx2-1 kx1x:-k(x1+x)+1 50k 30k 5k”+4 5k2+4 =5k,所以 25k2 30k +1 5k2+4 5k2+4 5k≤15，解得k≤3，所以斜率k的取 值范围为(1,3]. M 课时作业28 定点、定值问题 1.解：(1)y2=2px的焦点在x轴上， 为(0) 直线2x+3y-2=0与x轴的交点坐 标为1,0)，则号=1，即p=2,所以 抛物线C的方程为y2=4x (2)证明：证法一由题意可知AB所 在直线的斜率不为0， 设A(x1y1),B(x2y:),AB所在直 线的方程为x=my+n,联立y= 4x,化简可得， y2-4my一4n=0,则△=16m2+ 16n>0(*),y1y2=-4n. 又kA·koB= y1·y2 yi·y2 16 16 16 y1·yg 一4n =-2, 则n=2,满足(*)式， 即直线AB恒过点(2,0). 证法二 当直线AB的斜率不存在 时，设A(）B(,-y) 376红对闪讲与练·高三二轮数学 所以koA·ko= -16y5=-2,所以 y?=8,所以直线AB的方程为x=2: 当直线AB的斜率存在时，设A(x1, y1),B(x2,y2),AB所在直线的方程 为y=kx十b(k≠0，b≠0)，联立 y2=4x,化简可得x2+(2kb 4)x+b2=0, 由题意可知△=(2kb一4)2一4kb2= 16-16kb>0即kb<1(*). 由根与系数的关系知x1十x:= 4-2kb 62 k x1x2=2' 所以ko·kB=2= 1T2 kx1x:十b(x1十x:)+b T172 4k三一2， b 所以b=一2k,满足（￥）式， 所以AB所在的直线方程为y=kx 2k=k(x一2). 综上，直线AB恒过点(2,0). 2.解：D因为P为椭圆十 6=1(a> b>0)上的点， 所以△F,PF。的周长为|PF,|+ I PF:+FF:I=2a +2c=6, a+c=3. 又椭圆C的离心率为子所以名=弓· 1 所以a+2 a=3,所以a=2,c=1, 所以b=√22-1=√3， 所以C的标准方程为号+ =1. (20会是定位 由(1)得F1(-1,0),F2(1,0), 如图，设P(x1y1),Q(xy:), M(x3,y3),N(x4,y:), y F M 又P,Q,F1三点共线，所以y1 x1+1 十化简得x一工y y2 y1一y2, 则直线PP:的方程为x=1一 y+ 31 1,直线QF。的方程为x y+1 y2 x1-1 -y+1, 由 化简得(2x1 4 5)y2-2(x1-1)y1y+3y=0, 由根与系数的关系可知y1y 3yi 2x1-5 所以y3= 3y1 x1-1 2x1-5 X3= 3y3十 5x1-8 1= 2x1-5' 5x2-8 同理y:= 3y9 2x2-5x4= 2x2-5 又k,= y2二义，k= y-ya x2一x1 x4一x3 3y2 3y1 2x2-5 2x1-5 5x2-8 5.x1-8 2x2-5 2x1-5 2(x1y2-x2y1)-5(y2-y1) -3(x2-x1) -2(y2-y1)-5(y2-y1) 7 × -3(x2-x1） 3 y:一y =2k1, x2一x1 3 3 所以 k2 3.解：(1)设P(x,y),A(x。,0),B(0, yo),由|AB|=3得x6十y8=9, 由√OP=√2OA+OB得(3x, √3y)=(W2x。,0)+(0,yo), √3 x0= 所以 √2代人x+y后=9得 =3y, 停 +(3y)=9, 整理得。士三1，所以动点P的轨 迹C的方程为后+ =1. (2)①当切线的斜率不存在时，切线 方程为x=√2，x=一√2，如图， M N x=-√2 x=√2 (i)当切线方程为x=√2时，M(√2， √2)，N(√2，-√2)， 以MN为直径的圆的方程为 (x-√2)+y°=2， (ⅱ)当切线方程为x=一√2时， M(-√2，√2)，N(-√2，-√2)， 以MN为直径的圆的方程为(x+ √2)2+y2=2. 由(x-√2)+y=2和(x+√2)十 y2=2,可解得交点为(0,0) ②当切线的斜率存在时，如图，设切 线方程为y=kx十m, x 则 =√2，故m2= k2+1 2(k2+1),