专题03 圆锥曲线技巧提升篇03——韦达化处理以及非对称韦达-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专项突破

专题03 韦达化处理以及非对称韦达 韦达化处理 不难发现，前面介绍的核心条件坐标化后，并不全是直接韦达化的形式．对于坐标化后的表达式不是韦达形式的，还需进行韦达化处理．在开篇的例题中我们提到，韦达化主要又两个路径：代换和配凑. 韦达化处理一：代换——即消去x或y中的一个 由于我们联立后的方程式关于x或y的二次方程，韦达定理中的两根之和与两根之积只式单独的x或y的形式，而此时坐标表达式并非是直接的韦达形式，因此需进行代换： 例题回顾 直线l与抛物线交于A、B两点，且满足，证明：直线l过定点． 部分解析 由题，直线不与x轴平行，故设，其中，设点， 联立，消x得：，，则， 因为，则，即， 方向一：直线代换: 剩余解析 通常情况下，我们在解答题以直线代换居多，这里不再赘述．但需要注意一点，一般而言，如果选择代换消去y则正设直线；选择代换消去x，则反设直线． 方向二：曲线代换： 剩余解析 对于核心信息表达式中的一次项，一般以直线代换为主．而曲线如果为抛物线，也可以用抛物线代换，如例题中抛物线为，因此对于x的一次式可以用曲线代换．反之，如果抛物线为则可用曲线对y进行代换，由于我们要代换的是y，因此联立后的方程保留为关于x的二次方程，同时直线的假设则以正设为主． 另一方面，如果核心信息表达式中是单元的二次形式，如形式，则一般考虑用曲线代换，这样处理会更加简单． 【例题1】 在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为A，点B、C是上不同于A的两点，且点、关于原点对称．记直线AC、AB的斜率分别为、，求证：为定值． 韦达化处理二：配凑 配凑法进行韦达化处理，一个经典案例就是弦长中的.对于前述坐标化后的部分式子，也需要作配凑处理： 1． 2． 3． 4． 5． 非对称韦达 此外，在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过直线代换可得：但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”． 我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法， 非对称韦达的处理，技巧性稍强一些，具体处理方法技巧． 【例题 2】 已知点F为椭圆的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为证明为定值． 分析 此题核条件为直线AM与的斜率显然要设点，不妨设而由题可知A(－2，0)，B(2，0)，因此， 从而目标信息，要证明其值为定值．从目标信息的形式来看，用x或y表示并无差异，考虑到直线不与x轴重合，故采用 直线要方便些，因此设_________. 通过直线替换后可得 下面介绍几种常见的处理策略，准备工作先做好，先联立，写出两根之积与两根之和 策略一：和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系 策略二：配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑 策略三：先猜后证 可以先找一个特殊情况先得到该定值，进而再证明其他情形也为该值. 显然先考虑直线l斜率不存在时的情形，此时，，或，，对应为或，，此时均有，为定值． 当直线l斜率存在时，不妨就正设直线，联立， 策略一的“和积转换”以及策略二的“配凑半代换”可以说是“非对称韦达定理”的通法，而猜证结合也探究类题型的有效处理手段。除此之外，对于不同的结构和形式，还有一些其他对应的处理技法，考虑到通用性，这里只重点讲解“猜证结合”与“和积转换”和“配凑半代换”。 通过上述例题我们也能再次感受到，不同的参数引入和直线假设，对后续的计算处理将产生不同的影响，计算量也存在较大差异. 解析 反设直线： 策略一：和积转换(一般是积转和) 策略二：配凑半代换 正设直线： 策略一：和积转换（一般是积转和） 策略二：配凑半代换 策略三：先猜后证 【练习】 点是椭圆的左右顶点若直线与椭圆交于M，N两点，求证：直线AM与直线的交点在一条定直线上． 8 / 9 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $专题03 韦达化处理以及非对称韦达 韦达化处理 不难发现，前面介绍的核心条件坐标化后，并不全是直接韦达化的形式．对于坐标化后的表达式不是韦达形式的，还需进行韦达化处理．在开篇的例题中我们提到，韦达化主要又两个路径：代换和配凑. 韦达化处理一：代换——即消去x或y中的一个 由于我们联立后的方程式关于x或y的二次方程，韦达定理中的两根之和与两根之积只式单独的x或y的形式，而此时坐标表达式并非是直接的韦达形式，因此需进行代换： 例题回顾 直线l与抛物线交于A、B两点，且满足，证明：直线l过定点． 部分解析 由题，