浙江省杭州地区(含周边)重点中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题

浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021-2022学年高三上学期期中考试 数学试题 选择题部分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.设（为虚数单位），则（ ） A. B. C.3 D.2 3.若实数满足约束条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.展开式中，的系数为（ ） A.20 B. C.160 D. 5.函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6.在三角形中，“”是“为锐角三角形”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D.1 8.对于平面内不共线的四点，若存在一组正实数，，，使得，则三个角、、（ ） A.都是钝角 B.至少有两个钝角 C.恰有两个钝角 D.至多有两个钝角 9.若对任意的，当时，恒有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10.已知数列，，数列满足.若，且对任意，恒成立，则可能为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为______平方步. 12.若，，则______，______. 13.在平面直角坐标系中，，，在轴正半轴有点，则的最大值为______，此时______. 14.已知正整数满足，则的最大值为______，最小值为______. 15.已知为单位向量，且，设向量与向量的夹角为，则______. 16.男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照，要求男女生相间且甲和乙相邻，共种不同排法. 17.函数的零点个数为______，则______. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）设函数，（） （I）求的最大值和对称中心； （II）为的导函数，若，求的值. 19.（本题满分15分）如图，在三棱雉中，，，， （I）求证：； （II）若直线与平面成角，求. 20.（本题满分15分）已知数列，，且满足.数列满足，数列的前项和为. （I）证明：数列为等比数列并求的通项公式； （II）求数列的通项公式. 21.（本题满分15分）已知点，，直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. （I）求曲线的轨迹方程； （II）若抛物线与曲线交于点，设，求面积最大时的值. 22.（本题满分15分）已知，直线为曲线在处的切线，直线与曲线相交于点且. （I）求的取值范围； （II）（1）证明：； （2）证明：. 2021学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高三年级数学学科参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D D A C A B C A 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.120 12.，1 13.， 14.， 15. 16.40 17.3， 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.解： （I） 当，，时，有最大值2. 对称中心为，. （II）， 得，所以， . 19.解： （I）证明：设中点为，连结，. 面. （II）解：由面知：面面，所以角为直线与平面成角. 在三角形中，，，，由余弦定理得 ， 解得或2. 解法二：以中点为坐标原点，为轴，延长线为轴建立空间直角坐标系如图所示， 则.设，则， ， 平面的一个法向量为， 由题意， 解得或. 当时，； 当时，. 20.解： （I）证明：由得，从而，由知是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，从而； （II）令，由题意知的前和为，所以， 从而 . 设， ， 两式相减得， 即.又，所以 21.解： （1）设曲线上的点为，由题意得 化简得 （定义域不写不扣分） （2）不妨设抛物线和曲线在第一象限的点为，则 因为点，所以 （面积只要有单参的形式就得4分） 令 所以，，在，， 此时，抛物线过，所以 22.解： （1）在处的切线为 令 显然，，， 在，，若，时， ，所以， 则在且，所以在上无零点，舍去. 若，因为，所以时； 则g（