【中原名校大联考】2019-2020学年高二上学期数学期中测评试卷

１　　　　 ２０１９—２０２０ 学年上学期高二年级期中测试 数学　 参考答案 一、选择题：本题共 １２ 小题，每小题 ５ 分，共 ６０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． １． Ａ　 ２． Ｃ　 ３． Ａ　 ４． Ｂ　 ５． Ｃ　 ６． Ａ　 ７． Ｃ　 ８． Ａ　 ９． Ｂ　 １０． Ｄ　 １１． Ｄ　 １２． Ｄ 二、填空题：本题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分． １３． － ２ 　 １４． １　 １５． ２１ － ｎ 　 １６． ２４ 三、解答题：共 ７０ 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １７． 解：（１）设｛ａｎ｝的首项为 ａ１，公差为 ｄ， 由已知得 ａ１ ＋ ２ｄ ＝ ４ ６ａ１ ＋ １５ｄ ＝ ２７ { ， 解得 ａ１ ＝ ２ ｄ ＝ １{ ． （３ 分） ∴ ａｎ ＝ ａ１ ＋ （ｎ － １）ｄ ＝ ｎ ＋ １． （５ 分） （２）由（１）可得 ｂｎ ＝ ２ｎ ＋ １， （６ 分） ∴ ｛ｂｎ｝是首项为 ４，公比为 ２ 的等比数列， （７ 分） 则 Ｔｎ ＝ ４（１ － ２ｎ） １ － ２ ＝ ４（２ ｎ － １） ． （８ 分） 由 Ｔｍ ＝ １２４，得 ４（２ｍ － １） ＝ １２４， （９ 分） 解得 ｍ ＝ ５． （１０ 分） １８． 解：（１）ｓｉｎ∠ＡＤＢ ＝ １ － １７ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ４ ３７ ， 在△ＡＢＤ 中，由正弦定理，ＢＤ ＝ ＡＢｓｉｎ∠Ａｓｉｎ∠ＡＤＢ ＝ ８ × ３２ ４ ３ ７ ＝ ７． （４ 分） （２）在△ＢＣＤ 中，由余弦定理，ｃｏｓ∠ＢＣＤ ＝ ３ ２ ＋ ５２ － ７２ ２ × ３ × ５ ＝ － １ ２ ， ∴ ∠ＢＣＤ ＝ １２０°，Ｓ△ＢＣＤ ＝ １ ２ ·ＢＣ·ＣＤ·ｓｉｎ∠ＢＣＤ ＝ １５ ３ ４ ． （７ 分） 在△ＡＢＤ 中，ＡＤ ＝ ＡＢｃｏｓ∠Ａ ＋ ＢＤｃｏｓ∠ＡＤＢ ＝ ５， ∴ Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２ ·ＡＢ·ＡＤ·ｓｉｎ∠Ａ ＝ １０ ３， （１０ 分） 于是，四边形 ＡＢＣＤ 的面积为 Ｓ△ＢＣＤ ＋ Ｓ△ＡＢＤ ＝ ５５ ３ ４ ． （１２ 分） １９． 解：（１）要证原不等式，即证： ｜ ａ － ｂ ｜≤ ｜１ － ａｂ ｜ ， ２　　　　 即证：（ａ － ｂ） ２≤（１ － ａｂ） ２， 也就是证：（ａ２ － １）（１ － ｂ２）≤０， ∵ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ １， ∴ ａ２≤１，ｂ２≤１， ∴ （ａ２ － １）（１ － ｂ２）≤０，故原不等式成立． （６ 分） （２）（ａ ＋ ｂ）·（ａ３ ＋ ｂ３） ＝ ａ４ ＋ ａｂ３ ＋ ａ３ｂ ＋ ｂ４≥ａ４ ＋ ２ ａｂ３·ａ３ｂ ＋ ｂ４ ＝ （ａ２ ＋ ｂ２） ２ ＝ １， ∴ 当且仅当 ａ ＝ ｂ ＝ ２２ 或 ａ ＝ ｂ ＝ － ２ ２ 时，（ａ ＋ ｂ）·（ａ ３ ＋ ｂ３）取到最小值 １． （１２ 分） ２０． 解：（１）由已知及正弦定理得 ｓｉｎ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ ＋ ３３ ｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ａ． （２ 分） 又 ｓｉｎ Ｂ ＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｃ） ＝ ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｃ， 所以 ｔａｎ Ａ ＝ ３，因此 Ａ ＝ π３ ． （６ 分） （２）方法 １：在△ＡＢＣ 中，由余弦定理可得 ｂ２ ＋ ｃ２ － ｂｃ ＝ ３，因为 ｂｃ≤ｂ ２ ＋ ｃ２ ２ ， 当且仅当 ｂ ＝ ｃ 时取等号，所以 ｂ２ ＋ ｃ２≤６． 因为 ＡＭ 是 ＢＣ 边上的中线，在△ＡＢＭ 和△ＡＣＭ 中，由余弦定理知 ｃ２ ＝ ＡＭ２ ＋ ３４ － ２ＡＭ· ３ ２ ·ｃｏｓ∠ＡＭＢ，ｂ ２ ＝ ＡＭ２ ＋ ３４ － ２ＡＭ· ３ ２ ·ｃｏｓ∠ＡＭＣ． 故 ＡＭ２ ＝ ｂ ２ ＋ ｃ２ ２ － ３ ４ ≤ ９ ４ ，当且仅当 ｂ ＝ ｃ ＝ ３时，ＡＭ 取最大值 ３ ２ ． （１２ 分） 方法 ２：在△ＡＢＣ 中，由余弦定理可得 ｂ２ ＋ ｃ２ － ｂｃ ＝ ３，因为 ｂｃ≤ｂ ２ ＋ ｃ２ ２ ， 当且仅当 ｂ ＝ ｃ 时取等号，所以 ｂ２ ＋ ｃ２≤６． 因为 ＡＭ 是 ＢＣ 边的中线， 所以ＡＭ→ ＝ ＡＢ → ＋ ＡＣ→ ２ ，平方得 ＡＭ ２ ＝ １４ （ｂ ２ ＋ ｃ２ ＋ ｂｃ） ． 故 ＡＭ２ ＝ ｂ ２ ＋ ｃ２ ２ － ３ ４ ≤ ９ ４ ，当且仅当 ｂ ＝ ｃ ＝ ３时，ＡＭ 取最大值 ３ ２ ． （１２ 分） 方法 ３：在△ＡＢＣ 中，ａ ＝ ３，Ａ ＝ π３ ，由正弦定理可得 ｂ ＝ ２ｓｉｎ Ｂ，ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ｃ． 因为 ＡＭ 是 ＢＣ 边上的中线，在△ＡＢＭ 和△ＡＣＭ 中，由余弦定理知 ｃ２ ＝ ＡＭ２ ＋ ３４ － ２ＡＭ· ３ ２ ·ｃｏｓ∠ＡＭＢ，ｂ ２