第27章 圆与正多边形(压轴题专练)-2021-2022学年九年级数学期中期末考试满分全攻略（沪教版）

第27章 圆与正多边形压轴题专练 一、填空题 1．（2021·上海·九年级专题练习）门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示．图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ=12cm，则 （1）sin∠CAB=_____； （2）该圆的半径为_____cm． 【答案】 【分析】（1）连接OB，易证OB⊥AC，∠ACB=∠CAB=30°，利用锐角三角函数的定义可求解； （2）连接OP，根据圆的切线的性质可得OP⊥AQ，设该圆的半径为r，可求sin∠PAO=，过Q作QG⊥AC于G，过D作DH⊥QG于H，则四边形DHGC是矩形，可求sin∠PAO=，计算求解QG的长，进而可得QH=12﹣2r，DH=，通过解直角三角形即可求解． 【详解】（1）连接OB，OP， ∵AB=BC，O为AC的中点， ∴OB⊥AC， ∵∠ABC=120°， ∴∠ACB=∠CAB=30°， ∴sin∠CAB=sin30°=． 故答案为：； （2）∵AQ是⊙O的切线， ∴OP⊥AQ， 设该圆的半径为r， ∴OB=OP=r， ∵∠ACB=∠CAB=30°， ∴AB=BC=CD=2r，AO=r， ∴AC=r， ∴sin∠PAO=， 过Q作QG⊥AC于G，过D作DH⊥QG于H，则四边形DHGC是矩形， ∴HG=CD，DH=CG，∠HDC=90°， ∴sin∠PAO=，∠QDH=120°﹣90°=30°， ∴QG=12， ∴AG=， ∴QH=12﹣2r，DH=GC=AC-AG=， ∴tan∠QDH=tan30°=， 解得r=， ∴该圆的半径为（）cm． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质，正多边形和圆等知识的综合运用． 二、解答题 2．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在O中，半径长为1，弦，射线BO，射线CA交于点D，以点D为圆心，CD为半径的交BC延长线于点E． （1）若，求与公共弦的长； （2）当为等腰三角形时，求BC的长； （3）设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设CM是两圆的公共弦，CM交BD于N，交OA于K，BD交于G，连接OC、CG交OA于H，由题意易得，，进而可证，，最后根据勾股定理及相似三角形的性质可求解； （2）当是等腰三角形时，观察图形可知，只有，则有，设，则有，进而求出x，最后求解即可； （3）作于N，根据题意可证，进而有，则可得，最后进行求解即可． 【详解】解：（1）如图1中，设CM是两圆的公共弦，CM交BD于N，交OA于K，BD交于G，连接OC、CG交OA于H， ∵BG是直径， ∴， ∵， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴． （2）如图2中， 当是等腰三角形时，观察图形可知，只有， ∴， ∵，∴， 设，则有， ∴，∴或（舍弃），∴， ∵，∴，∴； （3）如图3中，作于N， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 【点睛】本题主要考查圆的综合运用及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（2021·上海·九年级专题练习）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝． （1）求AC的长； （2）求⊙A、⊙B、⊙C半径． 【答案】（1）17；（2）rA＝3，rB＝7，rC＝14 【分析】（1）如图作AH⊥BC于H，分别在，中，解直角三角形即可解决问题； （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z，则有，解方程组即可解决问题； 【详解】 解：（1）如上图作AH⊥BC于H， 在中，∵AB＝10，＝， ∴AH＝8，BH＝6， ∵BC＝21， ∴CH＝15， 在中，AC＝＝＝17． ∴AC＝17 （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z， 则有，解得 ∴＝3，＝7，＝14． 【点睛】本题考查了两圆外切的基本性质之一：如果有两圆外切，则两圆的圆心距为两圆的半径之和；直角三角形的勾股定理：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．在一个三角形中作出一条边上的高后就可以得到一个直角三角形，进而通过勾股定理进行求解． 4．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r． （1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O