微专题 直径与90度构造和圆心四边形、圆内接四边形构造（专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

微专题 直径与90度构造和圆心四边形、圆内接四边形构造 目录 题型一、直径与90度的构造 1 题型二、见直径连直角 11 题型三、作直径构直角 23 题型四、圆心四边形 32 题型五、圆内接四边形的构造 36 题型一、直径与90度的构造 例1如图，四边形的顶点在同一个圆上，且．若为的中点，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、90度的圆周角所对的弦是直径、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题．根据圆内接四边形对角互补可得，由此求出，则为圆的直径，则，利用弧与弦之间的关系得到，据此根据列式求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴为圆的直径， ∴， 在中，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】如图，四边形的顶点在同一个圆上，且． (1)求的度数； (2)若为的中点，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)49 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、90度的圆周角所对的弦是直径、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题． （1）设、、分别为、、，根据圆内接四边形对角互补可得，由此求出，继而求出的度数； （2）连接，根据勾股定理求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：设、、分别为、、， ∵四边形为圆内接四边形， ∴，即， 解得，， ∴； （2）连接， ∵， ∴为圆的直径， ∴， 的面积=，， ∵点为的中点， ∴， ∴的面积=， ∴四边形的面积． 【变式1-2】已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4． （1）求∠A、∠B的度数； （2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）60°、90°；（2） 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】(1)根据圆内接四边形的性质求出∠A、∠B的度数； (2)连接AC，根据勾股定理求出AC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到AD＝CD，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x， ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°， 解得，x＝30°， ∴∠A、∠B分别为60°、90°； （2）连接AC， ∵∠B＝90°， ∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°， ∵点D为的中点， ∴AD＝CD＝AC＝， ∴△ADC的面积＝， ∴四边形ABCD的面积＝6+＝． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题． 【变式1-3】如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1-4】已知四边形内接于，且． (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，过点C作的垂线交于点E，G为上一点，连接，并延长交延长线于点F，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点A作的切线，在切线上取一点L，使，连接，在上取一点Q，连接并延长交于点P，使，连接和，点N和点M分别在和边上，若，和相交于点K，且，，的面积是，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质和圆周角定理解答即可； （2）过点E作于点H，利用直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质解答即可； （3）过点L作，交的延长线于点H，利用圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质得到；过点N作于点J，连接，延长交于点R，连接，利用圆周角定理，全等三角形的判定与性质与性质，等腰直角三角形的判定与性质和线段垂直平分线的判定与性质得到；设，则，利用三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程求得x值，再利用勾股定理和相似三角形的判定与性质得到的长，则． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴． ∵， ∴， ∴为的直径； （2）证明：过点E作于点H，如图， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴矩形为正方形， ∴． ∴， ∴； （3）解：过点L作，交的延长线于点H，如图， ∵为的切线， ∴． ∴， ∵为直径， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴． 过点N作于点J，连接，延长交于点R，连接， ∵， ∴． ∵为直径， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴． 设，则， ∵的面积是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中， ． 由（2）知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，线段垂直平分线的判定与性质，平行线的判定与性质，圆的切线的性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质，构建恰当的辅助线是解题的关键． 题型二、见直径连直角 例2如图，在锐角三角形中，以边为直径的交于点，作，依次交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，根据等角的余角相等得，由圆周角定理得出，可得； （2）证出，得出，由勾股定理得出，即，解得或，由题意得出，，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：由（1）得：， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ，即， 解得：或， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【变式2-1】已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D（BD > CD），在劣弧上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H． （1）求证：AC⊥BH； （2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于，BC＝10，求CE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连AD利用直径所对圆周角是90°，可得∠DAC+∠DCA=90°，再由等量代换∠EBC+∠DCA=90°，则问题可解； （2）由已知，可得∠BAD=45°，再设AD=BD=x，在△ADC中利用勾股定理求DC，进而求BC，再证明△CDE∽△CEB，求CE即可． 【详解】（1）证明：连接AD ∵AC是⊙O的直径 ∴∠ADC=90° 即∠DAC+∠DCA=90° ∵∠EBC＝∠DEC，∠DAC＝∠DEC ∴∠EBC＝∠DAC ∴∠EBC+∠DCA=90° ∴∠BGC=90° ∴AC⊥BH （2）解：∵∠ABC＝45°，∠ADB=90° ∴∠BAD=45° ∴∠BAD=∠ABD ∴AD=BD 设AD=BD=x，CD=10-x，则 x1=4（舍），x2=6 ∴BD=6，CD=4 ∵∠EBC＝∠DEC，∠BCE＝∠ECD ∴△CDE∽△CEB ∴ 即， ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理的推理、 相似三角形的性质与判定，解答关键是根据勾股定理构造方程求解． 【变式2-2】如图，点在直角的斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是利用圆的相关性质构建角度和线段的关系，通过相似三角形求解线段长度． （1）连接，利用切线性质、平行线判定及圆周角定理证明弧相等，进而证明弦相等． （2）先根据直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再证明，建立等式求解的长度． 【详解】（1）证明：如图，分别连接，， 为半圆的切线， ． 又是直角三角形，， 即， ． ． ， ， ． ， ； （2）如图，连接， 为半圆O的直径， ． ， ， 四点共圆， ， 又， ， 又， ， ， 由（1）得， ， 即． 【变式2-3】问题背景：如图①，在中，为直径，为上一点，过点的弦，点是弧上一点（不与B、C重合）． (1)如图②，当点P与点O重合， ①__________； ②若半径为2，设与交于点的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由； ③当点E位置发生变化时，试证明：． (2)如图③，若为常数，且， ①__________．（用含有的代数式表示）； ②存在一个大小确定的，对于点E的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的大小． 【答案】(1)①；②为定值，定值为8；③证明见解析 (2)①；②45 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①由圆周角定理即可求解；②证明，根据边成比例即可求解；③连接，设半径为r．证明，根据边成比例，用表示出，从而可表示出；证明，根据边成比例用表示，从而表示出，从而可证明； （2）①连结，证明，由，及相似三角形对应边的比例关系即得，再证明，同理可得；②由，得，由是定值．可知的值与无关，则，此时为定值1，此时点与点重合，可得． 本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质、圆周角定理等． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， 故答案为：45； ②∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为定值8； ③连接，设半径为r， 由②知， ∴， ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连结 是直径， ∴． ， ， ， ∵ ． 又∵是的直径， ∴， ， ， ， ∵， ， ∴， ； （2）由（1）得， ，即． ∴． 若是定值，则的值与无关． ∴，此时为定值1，且点与点重合，如图： ∵， 是等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴存在半径为1的，对于点的任意位置，都有的值是定值1，此时的度数为． 【变式2-4】在梯形中，，点E在射线上，点F在射线上，连接相交于点P，．    (1)如图①，如果，点E、F分别在边上．求证：； (2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆O，半圆O与的另一个交点为点G．设与弧的交点为Q． ①当时，求和的长； ②当点Q为弧的中点时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可得证； （2）①过作于，连接，根据锐角三角函数的定义，求出的长，从而求得和的长，根据勾股定理求出的长，从而得到的三角函数值，进而求得的长，然后根据，推出和相似，从而求出的长即可； ②过点作于，根据垂径定理以及勾股定理求出的三角函数值，然后用表示出的长，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ， 又， ， ， ； （2）解：①过作于，连接，如图：   ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， 又， ， 在中，， ， ∵为直径， ， ， ， ， ； ②过点作于，连接，如图：   是的中点， ，， ， ， 设， ， ， ， 设， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，综合运用三角函数的定义、垂径定理、相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定、勾股定理以及平行线的性质等知识点，掌握以上知识点是本题解题的关键． 题型三、作直径构直角 例3如图，的两条弦与互相垂直，于点E． (1)求证； (2)设的半径为R，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形中位线，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键， （1）首先作直径，连接，根据圆周角定理可得，再根据题意得出，再由圆周角定理得出，即，再由三角形中位线的性质可知，由此即可证出． （2）根据勾股定理证明即可. 【详解】（1）作直径，连接， 则有，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， 且为的中点， 在中，， ． （2）由（1）可知， 的半径为R， ， ，为直角三角形， ． 【变式3-1】如图：在中，弦于点，连接． (1)如图1，求证： (2)如图2，若的半径为，连接，求证： (3)如图3，连接，过点作交于点，交于点，连接并延长交于点．若平分，且，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题主要考查圆的知识点，熟练掌握圆周角定理，圆的性质，勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，故，由于得到，可得，即可证明； （2）作直径，连接，，根据直径所对的圆周角是直角得到，则，根据平行所夹的弧相等，得，则再由勾股定理证明． （3）先求半径的长， 连接并延长交于点，连接．证出，得到，根据等腰三角形的性质得到，过作，垂足为，设，则，得到，再由勾股定理计算即可求出． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：作直径，连接，， 直径， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得： ； （3）解：连接并延长交于点，连接， 是直径， ， ， ， ， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴， ， ， ， ， 过作，垂足为， ，， ， ， 设，则， ， 平分，， ， ， ， ， ， 作，于点P， 则 ∴即 ∴ 在中， ∴ 解得： ． 【变式3-2】阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应学习任务： 对角线互相垂直的四边形的性质探究 在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知： 对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，证明过程如下： 如图1，在四边形中，对角线，垂足为． 求证：． 证明：∵于点， ∴（依据1） 若对角线互相垂直的四边形内接于圆，它还有什么特殊性质呢，通过探究，我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍，证明过程如下（不完整）： 如图2，已知的半径为，四边形内接于，且． 求证：． 证明：过点作直径，分别连接． ∵是的直径，∴（依据2） ∴， ∵， ∴． 学习任务： (1)小宇同学的论文中，画横线部分的“依据1”和“依据2”分别是： 依据1：______________； 依据2：______________． (2)请完成图2的剩余证明过程； (3)如图3，已知四边形内接于，为上一点，，若的直径为8，，请直接写出的长度． 【答案】(1)勾股定理（或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）；直径所对的圆周角等于90° (2)见解析 (3) 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】（1）根据勾股定理与圆周角定理可得答案； （2）过点作直径，分别连接．证明，．可得，可得，再利用勾股定理可得答案； （3）连接交于，如图，证明，，由（2）得：，再建立方程组，从而可得答案． 【详解】（1）解：勾股定理（或直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）； 直径所对的圆周角等于90°． （2）证明：过点作直径，分别连接． ∵是的直径，∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，； ∴， ∴， ∴， ∴ （3）连接交于，如图， ∵，， ∴， ∴，， 由（2）得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键． 题型四、圆心四边形 定义：一个顶点为圆心,其他三个点在圆上的四边形,称为圆心四边形. 例4如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，求出的度数，再利用圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：由圆周角定理得到， ∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4-1】如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BOC=120°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD． （1）求证：四边形OBDC是菱形； （2）若∠ABO=15°，OB=2，求弦AC长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【知识点】证明四边形是菱形、圆周角定理 【分析】（1）连接OD，证明△BOD和△COD是等边三角形，得到OB=BD=DC=OC，根据菱形的判定定理证明即可； （2）求出∠AOC=90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC，∠BOC=120°， ∴， ∴∠BOD=∠COD=60°， ∵OB=OD，OC=OD， ∴△BOD和△COD是等边三角形， ∴OB=BD=DC=OC， ∴四边形OBDC是菱形； （2）解:连接OA， ∵OB=OA=OC=2，∠ABO=15°， ∴∠AOB==150°， ∴∠AOC=360°-150°-120°=90°， ∴AC=． 【点睛】本题考查的是菱形的判定、圆周角定理、勾股定理，掌握圆周角定理、菱形的判定定理是解题的关键． 【变式4-2】如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD． （1）求证：四边形OBDC是菱形； （2）若∠ABO＝15°，OB＝1，求弦AC长． 【答案】（1）详见解析；（2）. 【知识点】证明四边形是菱形、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接OD，证明△BOD和△COD是等边三角形，得到OB＝BD＝DC＝OC，根据菱形的判定定理证明即可； （2）求出∠AOC＝90°，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：连接OD， 由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∵AD平分∠BAC， ∴＝， ∴∠BOD＝∠COD＝60°， ∵OB＝OD，OC＝OD， ∴△BOD和△COD是等边三角形， ∴OB＝BD＝DC＝OC， ∴四边形OBDC是菱形； （2）解：连接OA， ∵OB＝OA，∠ABO＝15°， ∴∠AOB＝150°， ∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°， ∴AC＝． 【点睛】本题考查的是菱形的判定、圆周角定理、勾股定理，掌握圆周角定理、菱形的判定定理是解题的关键． 【变式4-3】如图，在中，连接，，，，已知． (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理及其推论，等边三角形的判定，菱形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆的内接四边形，可知，从而求得，再利用圆周角定理，可求得； （2）连接，根据弧与弧相等，可算得，结合半径相等，可判定和为等边三角形，从而推出四边形四边相等，从而得证． 【详解】（1）解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： 由（1）可知，， 弧与弧相等， ， ， 和为等边三角形， ， 四边形是菱形． 题型五、圆内接四边形的构造 例5如图，点A、B、C在上， ，垂足分别为D、E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】在优弧AB上取一点F，连接AF，BF，先根据四边形内角和求出∠O的值，再根据圆周角定理求出∠F的值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：在优弧AB上取一点F，连接AF，BF． ∵ ， ∴∠CDO=∠CEO=90°． ∵， ∴∠O=140°， ∴∠F=70°， ∴∠ACB=180°-70°=110°． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式5-1】如图，点A、B、C、D、E在上，且为40°，则的度数为 ． 【答案】160 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构造内接四边形是解题的关键． 连接，先求得，根据圆内接四边形的性质得出，即可求得． 【详解】解：如图，连接， ∵为， ∴， ∵点B、C、D、E在上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：160． 【变式5-2】如图，是的两条高，连接，，，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了圆内接四边形性质，相似三角形的判定与性质等知识点，由是的两条高，则，则有点四点共圆，然后证明，则有，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是的两条高， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】如图，直线l与交于两点，E是上的一点，于点G，交于另一点F，连接．求证：． 【答案】见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、补角和余角的性质等知识．延长交于点M，连接，则，利用补角的性质证明，再利用余角的性质证明即可． 【详解】证明：延长交于点M，连接，则， ． ， ． ， ． 【变式5-4】已知是的弦，且，弦于点E． (1)如图1，若点C是劣弧的中点，，求的长； (2)如图2，若点C是优弧的中点，，求的长． 【答案】(1)的长为； (2)的长为． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）延长、相交于点，连接，由（1）可知，，，再由、、、四点共圆，可得，推导出，得到，即可证明，据此求解即可； （2）连接、、与相交于点，先证明，得到，，再推导出，得到，即可得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：延长、相交于点，连接， 是劣弧的中点， ， ， ， ，， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ； （2）解：连接、、与相交于点， 是优弧的中点， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，四点共圆的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 直径与90度构造和圆心四边形、圆内接四边形构造 目录 题型一、直径与90度的构造 1 题型二、见直径连直角 11 题型三、作直径构直角 23 题型四、圆心四边形 32 题型五、圆内接四边形的构造 36 题型一、直径与90度的构造 例1如图，四边形的顶点在同一个圆上，且．若为的中点，，，则四边形的面积为 ． 【变式1-1】如图，四边形的顶点在同一个圆上，且． (1)求的度数； (2)若为的中点，，，求四边形的面积． 【变式1-2】已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4． （1）求∠A、∠B的度数； （2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积． 【变式1-3】如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【变式1-4】已知四边形内接于，且． (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，过点C作的垂线交于点E，G为上一点，连接，并延长交延长线于点F，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点A作的切线，在切线上取一点L，使，连接，在上取一点Q，连接并延长交于点P，使，连接和，点N和点M分别在和边上，若，和相交于点K，且，，的面积是，求的长． 题型二、见直径连直角 例2如图，在锐角三角形中，以边为直径的交于点，作，依次交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【变式2-1】已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D（BD > CD），在劣弧上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H． （1）求证：AC⊥BH； （2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于，BC＝10，求CE的长． 【变式2-2】如图，点在直角的斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式2-3】问题背景：如图①，在中，为直径，为上一点，过点的弦，点是弧上一点（不与B、C重合）． (1)如图②，当点P与点O重合， ①__________； ②若半径为2，设与交于点的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由； ③当点E位置发生变化时，试证明：． (2)如图③，若为常数，且， ①__________．（用含有的代数式表示）； ②存在一个大小确定的，对于点E的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的大小． 【变式2-4】在梯形中，，点E在射线上，点F在射线上，连接相交于点P，．   (1)如图①，如果，点E、F分别在边上．求证：； (2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆O，半圆O与的另一个交点为点G．设与弧的交点为Q． ①当时，求和的长； ②当点Q为弧的中点时，求的长． 题型三、作直径构直角 例3如图，的两条弦与互相垂直，于点E． (1)求证； (2)设的半径为R，求证：． 【变式3-1】如图：在中，弦于点，连接． (1)如图1，求证： (2)如图2，若的半径为，连接，求证： (3)如图3，连接，过点作交于点，交于点，连接并延长交于点．若平分，且，，求线段的长． 【变式3-2】阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应学习任务： 对角线互相垂直的四边形的性质探究 在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知： 对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，证明过程如下： 如图1，在四边形中，对角线，垂足为． 求证：． 证明：∵于点， ∴（依据1） 若对角线互相垂直的四边形内接于圆，它还有什么特殊性质呢，通过探究，我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍，证明过程如下（不完整）： 如图2，已知的半径为，四边形内接于，且． 求证：． 证明：过点作直径，分别连接． ∵是的直径，∴（依据2） ∴， ∵， ∴． 学习任务： (1)小宇同学的论文中，画横线部分的“依据1”和“依据2”分别是： 依据1：______________； 依据2：______________． (2)请完成图2的剩余证明过程； (3)如图3，已知四边形内接于，为上一点，，若的直径为8，，请直接写出的长度． 题型四、圆心四边形 定义：一个顶点为圆心,其他三个点在圆上的四边形,称为圆心四边形. 例4如图，四边形内接于，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BOC=120°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD． （1）求证：四边形OBDC是菱形； （2）若∠ABO=15°，OB=2，求弦AC长． 【变式4-2】如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD． （1）求证：四边形OBDC是菱形； （2）若∠ABO＝15°，OB＝1，求弦AC长． 【变式4-3】如图，在中，连接，，，，已知． (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 题型五、圆内接四边形的构造 例5如图，点A、B、C在上， ，垂足分别为D、E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，点A、B、C、D、E在上，且为40°，则的度数为 ． 【变式5-2】如图，是的两条高，连接，，，若，则的长为 ． 第1题图 第2题图 第3题图 【变式5-3】如图，直线l与交于两点，E是上的一点，于点G，交于另一点F，连接．求证：． 【变式5-4】已知是的弦，且，弦于点E． (1)如图1，若点C是劣弧的中点，，求的长； (2)如图2，若点C是优弧的中点，，求的长． 试卷第1页，共3页 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $