浙江省杭州市学军中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题

杭州学军中学 2021 学年第一学期高三期中数学试题 选择题部分(共 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 , 集合 , 则集合 A. B. C. . D. 2. 已知 为虚数单位, 若复数 , 则 A. 2 B. 4 C. D. 3. 已知直线 , 其中 , 则 “ ”是 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知变量 满足约束条件 A. 12 B. 11 C. 8 D. 5. 函数 的图像为 6. 若 且 , 则下列不等式中, 恒成立的是 ( ) A. B. C. D. 7. 若双曲线 的一条渐近线为 , 则双曲线 的离心率 为 A. B. C. 2 D. 3 8. 已知函数 满足 , 则 的 最大值是( ) A. 4 B. C. 2 D. 9. 设 , 则下列结论中正确的有( ) (1) 中所有直线都过同一定点; 当 时, 中两条平行线间的最小距离为 ; (3) 中所有直线不能覆盖整个直角坐标平面 A. (1)(2) B. (1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2) 10. 已知 是公差为 的等差数列, 若存在实数 满足方程组 , 则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 非选择题部分 (共 110 分) 二、填空题: 本大题 7 小题, 多空题每小题 6 分, 单空题每小题 4 分, 共 36 分. 11. 函数 的定义域为( ). 12. 在 的展开式中, 所有项的系数和为 64 , 则n= ( ); 常数项的系数为( ). 13. 已知一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的最长棱的长度是( ), 体积是( ). 14. 甲、乙两人进行 5 局乒乓球挑战赛, 甲在每局中获胜的概率为 , 且各局胜负相互独立. 设甲嬴的局数为 , 则 15. 已知函数 , 若将 的图象向右移 , 其 相位减少了 , 且此时 为奇函数, 则 的周期是( ); 其图象的对称中心的坐标为( ). 16. 如图, 已知 是半径为 2 , 圆心角为 的一段圆弧 上一点, , 则 的最小值为( ). 17. 在四面体 中, , 分别是 的中点, 若用一个与直线 垂直且与四面体各面都相交的平面 去截该四面体, 则所得到的多边形截面面积的最大值为( ). 三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 74 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) 在锐角 中, 角 所对的边分别为 , 已知 (1) 求 ; (2) 若 , 求 的面积. 19. (本题满分 15 分) 如图(1), 在矩形 中, 是 的中点, 将三角形 沿 翻 折到图(2)的位置, 使得二面角 的大小为 。 (1) 在线段 上确定点 , 使得 平面 , 并加以证明; 在 (1) 的条件下求直线 与平面 所成角的正弦值. 20. (本题满分 15 分) 已知数列 的各项均为正数, 前 项和为 , 若对任意的正整数 , 有 (1) 求 的通项公式; 设数列 满足 , 求证: . 21. (本题满分 15 分) 已知椭圆 的焦点在 轴上, 离心率为 是此椭圆上不同 于上顶点 的两点 (1) 求椭圆的标准方程; (2) 若 (i) 求证: 直线 过定点, 并求出定点坐标; (ii) 设直线 与抛物线 交于 两点, 且 从左到右 排列, 且满足 ,设 的面积为 , 求 的最小值及此时抛 物线 的方程. 22. (本题满分 15 分) 已知函数 。 (1) 讨论 的单调性; (2) 若 存在两个极值点 , 且关于 的方程 恰有三个 实数根 , 求证: . $