专题20 面积型定值型问题-2022年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点突破（全国通用）

专题20　面积型定值型问题 题型一　三角形面积问题 【例题选讲】 [例1]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB＝－．求证：△AOB的面积为定值． [规范解答]　(1)由题意得，∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆的方程为＋＝1； (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标满足， 消去y化简得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝， 由Δ＞0，得m24k2－m2＋3>0， y1y2＝(kx1＋m)( kx2＋m)＝k2 x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2＋km (－)＋m2＝． ∵kOA·kOB＝－＝－，∴＝－，即y1y2＝－ x1x2，∴＝－·．即2m2－4k2＝3 |MN|＝·|x1－x2|＝·＝·＝． 又由点O到直线y＝kx＋m的距离d＝， 所以S△MON＝|AB|·d＝·＝·＝·＝为定值． [例2]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|＝4． (1)求椭圆C的标准方程． (2)若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． [规范解答]　(1)由2a＝4，e＝，解得a＝2，c＝2，b2＝a2－c2＝4，则椭圆的方程为＋＝1； (2)由题意可得A(－2，0)，B(2，0)，设P（x0，y0），可得＋＝1，即x02+2y02＝8， 则kAP·kBP＝·＝＝＝－， 因为AP∥OM，BP∥ON，则kOM·kON＝kAP·kBP＝－， ①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，联立椭圆方程可得y＝±， 所以M(m，)，N(m，－)，由kOM·kON＝－，可得－＝－，解得m＝±2， 所以M(±2，)，N(±2，－)，所以S△MNO＝×2×2＝2； ②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立直线y＝kx＋n和x2＋2y2＝8，可得(1＋2k2)x2＋4knx＋2n2－8＝0， 可得∴x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋n)(kx2＋n)＝k2x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2， 由kOM·kON＝＝k2＋＋＝－，可得n2＝2＋4k2， 由弦长公式可得，|MN＝|·|x1－x2|＝· ＝·＝·＝． 点(0，0)到直线l的距离为d＝＝， 所以S△OMN＝d·|MN|＝2，综上可知，△OMN的面积为定值2． [例3]　如图，F1、F2为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，S△DEF2＝1－．若M(x0，y0)在椭圆C上，则点N(，)称为点M的一个“好点”．直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“好点”分别为P、Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2) △AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由． [规范解答]　(1)由题可知，解得a2＝4，b2＝1， 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(，y1)，Q(，y2)．由OP⊥OQ，即＋y1y2＝0．(1) ①当直线AB的斜率不存在时，S＝|x1·| y1－y2|＝1； ②当直线AB的斜率存在时，设其直线为y＝kx＋m(k≠0)， 联立得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0． 则Δ＝16(4k2－m2＋1)，x1x2＝，同理y1y2＝，代入(1)，整理得4k2＋1＝2m2． 此时Δ＝16m2>0，|AB|＝|·|x1－x2|＝．h＝，∴S＝1． 综上，△AOB的面积为定值1． [例4]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，四个顶点构成的四边形面积为2． (1)求椭圆C的标准方程； (2)斜率存在的直线l与椭圆C相交于M、N两点，O为坐标原点，＝＋，若点P在椭圆上，请判断△OMN的面积是否为定值． 解析　(1)由题可得2c＝2，c＝1，2a×2×b＝2，又a2＝c2＋b2，解得b＝1，a＝． 故椭圆方程为＋y2＝1． (2)设直线l方程是y＝kx＋m，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)， 联立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， Δ＝8(2k2－m2＋1)>0．x1＋x2＝，x1x2＝， |MN|＝·|x1－x2|＝·＝． 又∵＝＋，所以∴P(，) 把点P坐标代入椭圆方程可得()2＋2()＝2，整理可得4m2＝2k2＋1， 又由点O到直线y＝kx＋m的距离d