专题19 求解三角函数单调性的方法-备战2022年高考数学之学会解题必备方法技巧规律（全国通用）

· 方法19 求解三角函数单调性的方法 基本原理 方法 解读 适合题型 典例指引 整体代入法 将ωx+φ(ω>0)看作一个整体,代入三角函数的单调区间解x的取值范围,即为所求 y=sin(ωx+φ)(ω>0) y=cos(ωx+φ)(ω>0) y=tan(ωx+φ)(ω>0) 例1 同增异减法 对于复合函数单调区间的确定,应明确:对复合过程中的每一个函数而言,同增或同减则为增,一增一减则为减,即同增异减 y=f(-ωx+φ) (ω>0) 例2 图象法 若函数的图象能够容易画出来,可利用图象的直观性迅速求解.同时注意函数的周期性 带有绝对值的三角函数 例3 温馨 提醒 求y=Asin(ωx+φ)单调区间,一般当ω为负值时,应用诱导公式化为正值 典型例题精选与变式 典型例题 自主解析 体会方法 例1【2022江苏苏州市十中高三上学期10月阶段性检测】下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A． B． C． D． 解：令，可得， 令可得：， 令可得， 令可得， 因为，故选项A正确；选项BCD都不符合题意，故选：A. 【方法】整体代入法 例2【安徽省六安市毛坦厂中学2022届高三上学期9月月考】函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 解：因为，所以，令，解得，故函数的单调递增区间为 故选：D. 【方法】同增异减法 例3【北京市大兴区兴华中学2022届高三9月月考】已知函数，则 ①在上的最小值是1； ②的最小正周期是； ③直线是图象的对称轴； ④直线与的图象恰有2个公共点. 其中说法正确的是________________. 解：对于①，当时， 且，则当时，函数取最小值，即，故①正确； 对于②，∵，，，则： 故函数的最小正周期不是，②错误； 对于③，若k为奇数，则； 若k为偶数，则. 由上可知，当吋，， 所以，直线是图象的对称轴，③正确； 対于④，因为∵， 所以为函数的周期. 当时，； 当时，. 综上可知，. 当时，，，即函数与在上的图象无交点： 当时，，，所以，函数与在上的图象也无交点.作出函数与函数在上的图象如下图所示： 由图像可知，直线与的图象恰有2个公共点，故④正确. 故答案为：①③④. 【方法】图象法 最新模拟精选与提高 精选练习 自主解析 体会应用 1．【黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高三上学期四调】函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ） A． 最小正周期为 B．图象的一条对称轴为直线 C．图象的一个对称中心坐标为 D．在区间上单调递增 解：由图象可知，，，所以，所以，所以，则，，又，所以，所以，因为将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，所以，的最小正周期为，故A错误；由，故B错误；由，故C错误； 由，，得的单调增区间为，．当时，的单调增区间为，此时，故D正确．故选：D 【方法】整体代入法 2．【北师大天津附属中学2021-2022学年高三月考】函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 解：根据函数（，，）的部分图象，可得，，∴．结合五点法作图可得，∴，． 将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），可得的图象．再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象．令，求得，可得函数的单调递增区间为，，令，可得一个增区间为. 故选：A. 【方法】整体代入法 3.函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 解：因为，所以，令，解得，故函数的单调递增区间为 故选：C 【方法】同增异减法 4．【2021届广东省江门市模拟】下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 解：A. ，则是偶函数， 当时，为减函数，不满足条件. B. 是偶函数，当时，为减函数，不满足条件. C. ，则是偶函数， 当时，为减函数，不满足条件. D. 是偶函数，当时，，为增函数，满足条件. 故选：D. 【方法】图象法 5．【江苏苏州昆山周市高级中学2021-2022学年高三模拟】下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A． B． C． D． 解：由题知，， 由，， 得，. 所以函数的单调增区间为，. 令，有在上单调递增； 令，有在上单调递增； 令，有