专题04 几何图形的折叠与动点问题-备战2022年中考数学母题题源解密（全国通用）

专题04 几何图形的折叠与动点问题 考向1 点位置的不确定 【母题来源】2021年中考内蒙古通辽卷 【母题题文】如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【试题解析】①当MB'MN时，如图： Rt△AMB'中，AB'＝AB＝3，MB'AB＝1， ∴AM2， ∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD， ∴四边形ABNM是矩形， ∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3， 设BE＝x，则B'E＝x，EN＝2x， Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝2，EN2+B'N2＝B'E2， ∴（2x）2+22＝x2，解得x，∴BE的长为； ②当NB'MN时，如图： ∵NB'MN＝1，∴MB'＝2，设BE＝y， 同①可得y，∴BE的长为， 综上所述，BE的长为或．故选：D． 【命题意图】考查直角三角形的性质和应用，以及分类讨论思想. 【命题方向】以三角形和特殊的多边形为背景，借助于勾股定理和锐角三角函数知识，利用分类讨论思想进行解答，答案一般为二或三个。 【得分要点】解决几何图形折叠与动点问题的思路: (1)折叠前后的两部分图形全等,对应边、角均相等,对应点的连线被折痕垂直平分; (2)一般运用三角形全等、直角三角形、相似三角形等知识及方程思想,设一条边的长为x,再用含x的代数式来表示其他的边,最后设法用勾股定理或相似三角形性质来求线段的长. 考向2 边或角的不确定 【母题来源】2021年中考四川阿坝州卷 【母题题文】如图，腰长为22的等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与△ABC的某一条腰垂直时，BD的长为 　　． 【答案】或2 【试题解析】当CE⊥AB 时，如图， 设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°， 由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°， ∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°， ∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∴∠BCM＝22.5°， ∴∠BCM＝∠DCM， 在△BCM和△DCM中，， ∴△BCM≌△DCM（ASA），∴BM＝DM， 由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE， ∴△MDE是等腰直角三角形，∴DM＝EM， 设DM＝x，则BM＝x，DEx， ∴ADx．∵AB＝22， ∴2xx＝22，解得：x， ∴BD＝2x＝2；当CE⊥AC时，如图， ∴∠ACE＝90°， 由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°， ∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°， ∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE， ∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形，∵AB＝AC＝＝22，∴ADAC＝2， BD＝AB﹣AD＝（22）﹣（2）， 综上，BD的长为或2．故答案为：或2． 【命题意图】考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，注重分类讨论思想的运用． 【命题方向】以题干中的“模糊”词汇为出发点，对题目进行分类讨论作答，一般为选填的压轴位置. 【得分要点】特殊图形边或角不确定时的分类讨论: (1)边不确定: ①等腰三角形,按照边是底边和腰分类讨论; ②直角三角形,按照边是直角边和斜边分类讨论; ③全等或相似,按照对应边分类讨论. (2)角不确定: ①等腰三角形,按照顶角和底角分类讨论; ②直角三角形,按照哪个角是直角分类讨论. 1．（2021•准格尔旗一模）如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处，当△APD'是直角三角形时，PD的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝90°， ∵CD＝4，tan∠AEB，∴BE＝3， 在Rt△ABE中，AE5， ∵E是BC的中点，∴AD＝6， 由折叠可知，PD＝PD'， 设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x， 当△APD'是直角三角形时， ①当∠AD'P＝90°时， ∴∠AD'P＝∠B＝90°， ∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB， ∴△ABE∽△PD'A， ∴， ∴，∴x，∴PD； ②当∠APD'＝90°时， ∴∠APD'＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB， ∴△APD'∽△EBA， ∴，∴， ∴x，∴PD； 综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为或，故选：B． 2．（2021•商丘三模）如图菱形OABC，在平面直角坐标系中，点A（8，0），∠C＝60°，点P为