四川省蓉城名校联盟2021-2022学年高二上学期期中联考理科数学试题

1 蓉城名校联盟 2021～2022学年度上期高中 2020级期中联考 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B D B C A D D B C A D 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13． 2 14．3 15． 4 3 3 16． 3 3 2 三、解答题：本题共 6小题，共 70分。 17．（10分） 解：（1）设所求直线方程为 4 3 0x y m   ， ……2分 由点 (1,2)P 在直线 4 3 0x y m   上， 得 4 1 3 2 0m     ， 10m   ． ……4分 故所求直线方程为 4 3 10 0x y   . ……5分 （2）设所求直线方程为 3 4 0x y c   ， ……7分 由 | 2 | 2 5 c   得 12c  或 8c   ， ……9分 故所求直线方程为 3 4 12 0x y   或3 4 8 0x y   ． ……10分 18．（12分） 解:（1） 1 2 5 3| | | | 4 2 2 2 MF MF a     ， ……2分 2a  ，又 1c  ， 2 2 2 3b a c    ， ……4分 椭圆的标准方程为 2 2 1 4 3 x y   . ……6分 另解 1：由 2 2 2 2 2 1 9 1 4 1 c a b a b           得 2 2 4 3 a b     另解 2：由 2 2 2 2 1 3 2 c a b b a         得 2 2 4 3 a b     （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 由 2 21 13 4 12x y  ， 2 2 2 23 4 12x y  ， 两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 23( )( ) 4( )( )x x x x y y y y      ， ……8分 1 2 2x x   ， 1 2 1y y  ， 2 1 2 1 2 3 2AB y yk x x      ， ……10分 直线 l的方程为 1 3 ( 1) 2 2 y x   即3 2 4 0x y   ． 故直线 l的方程为 3 2 4 0x y   ， ……12分 另解 1： 2 2 1 ( 1) 2 3 4 12 y k x x y         得 2 2 2(4 3) 4 (2 1) (2 1) 12 0k x k k x k       ， 1 2 2 2 (2 1) 1 2 4 3 x x k k k        ， 3 2 k  ． 另解 2：由公式得 2 0 2 0 3 2AB b x k a y    （建议不扣分）． 19．（12分） 解：（1）设圆心 ( ,2 )C t t ，由 2 2| | | |CA CB ， ……2分 得 2 2 2 2( 4) ( 2) ( 2)t t t t      ， 2t  ， 圆心 (2,0)C ，半径 2r  ， ……4分 故圆 C的方程为 2 2( 2) 4x y   ． ……6分 （2）当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 4 ( 3)y k x   ， 即 3 4 0kx y k    ，圆心到直线的距离为 2 | 4 | 1 kd k    ， ……7分 弦长 2| | 2 3 2 4MN d   ， 2 | 4 | 1 1 kd k     ， 15 8 k  ． ……9分 直线 l的方程为15 8 13 0x y   ． 当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 3x  ， 圆心到直线的距离为 1d  弦长 2| | 2 4 2 3MN d   满足题意． ……11分 综上：直线 l的方程为15 8 13 0x y   或 3x  ． ……12分 20．（12分） 解：（1）设动点 ( , )P x y ，根据题意得 2 2( 1) 2 | 2 | 2 x y y     ， ……3分 整理得 2 2 1 2 yx   ， 故曲线 C的方程为 2 2 1 2 yx   ． ……5分 （2）设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 由 2 2 1 2 2 y kx