天津市南开区2021-2022学年高三上学期期中数学试题

2021—2022学年度第一学期南开区期中考试试卷 高三年级数学学科 2021.11 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分。 参考公式： ·球的表面积公式，其中R表示球的半径. ·柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若全集，，则（ ）. A. B. C. D. 2.命题“，”的否定是（ ）. A.， B.， C.， D.， 3.己知在复平面内，复数对应的点是，则复数的共扼复数（ ）. A. B. C. D. 4.函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 5.设，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 6.已知，，，若，则的值是（ ）. A.2 B.-2 C.1 D.-1 7.已，，，则a，b，c的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 8.下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ）. A. B. C. D. 9.设函数.若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2.本卷共12小题，共110分。 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。 10.设i为虚数单位，，则实数_____________. 11.计算：_____________. 12.已知体积为的圆柱的底面是一个球的截面，圆柱的底面积为，则该球的表面积是____________. 13.曲线在处的切线方程为____________；若该切线也是曲线的切线，则____________. 14.已知正实数a，b满足，则的最小值为____________. 15.边长为a的菱形满足，则_____________；一直线与菱形的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若，，，则_____________. 三、解答题：本大题共5题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分14分） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）求的值. 17.（本小题满分15分） 设二次函数满足条件：①当时，的最大值为0，且成立；②二次函数的图象与直线交于，两点，且. （I）求的解析式； （Ⅱ）求的解集； （Ⅲ）求最小的实数，使得存在实数，只要当时，就有成立. 18.（本小题满分15分） 如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，. （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由. 19.（本小题满分15分） 已知函数的导数为，函数. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求最小正周期及单调递减区间； （Ⅲ）若，不是单调函数，求实数的取值范围. 20.（本小题满分16分） 已知函数，. （Ⅰ）当时，求的极大值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）当时，设函数，若实数满足：且，，求证：. 2021—2022学年度第一学期南开区期中考试试卷参考答案 高三年级 数学学科 一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C D A B A C D C 二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分） 10.0； 11.； 12. 13.，2（第一个空2分，第二个空3分）； 14.； 15.0，（第一个空2分，第二个空3分）. 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） 16.解：（Ⅰ）由余弦定理得， 所以， 即，解得. 所以. （Ⅱ）由正弦定理，得， 解得. （Ⅲ）由，可知为锐角. 所以由（Ⅱ）可得. 所以，， 所以. 17.解：（Ⅰ）由知函数的对称轴为， 由的最大值为0，可设. 令，得， 由得，解得. 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，即， 解得或， 所以的解集为. （Ⅲ）由可得，， 即， 解得. 又在时恒成立，可得， 由（2）得. 令，易知单调递减， 所以， 由于只需存在实数，故，则能取到的最小实数为-9. 此时，存在实数，只要当时，就有成立. 18.解：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原