4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

第2课时　离散型随机变量的方差 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．(重点) 2．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差．(重点) 3．会用方差解决一些实际问题．(难点) 1．通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养． 2．借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学运算的素养. 山东省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加第十四届全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数分布列如下所示． 甲的环数 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 乙的环数 8 9 10 P 0.3 0.4 0.3 问题：如果从平均水平和发挥稳定性角度分析，你认为派谁参加全运会更好一些？ 1．离散型随机变量的方差与标准差 (1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝称为离散型随机变量X的标准差． [xi－E(X)]2pi，称为离散型随机变量X的方差； (2)意义：方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)． (3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝a2D(X)． 2．两点分布及二项分布的方差 (1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (2)若随机变量X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 思考：两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系． [提示]　由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关系．即若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，取n＝1，则D(X)＝p(1－p)就是两点分布的方差． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值． (　　) (2)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平． (　　) (3)离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平． (　　) (4)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．设随机变量ξ的方差D(ξ)＝1，则D(2ξ＋1)的值为(　　) A．2　　　 B．3　　　 C．4 D．5 C　[因为D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故选C.] 3．若随机变量ξ～B，则D(ξ)＝________. 1　[∵ξ～B＝1.]×，∴D(ξ)＝4× 4．已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 P 0.4 0.1 0.5 则X的标准差为________． 　[E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2， ∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋ (5－3.2)2×0.5＝3.56. ∴X的标准差为.]＝＝ 离散型随机变量的方差 【例1】　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、均值和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值． [思路点拨]　(1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解． (2)运用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b. [解]　(1)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)＝0×＝1.5.＋4×＋3×＋2×＋1× D(X)＝(0－1.5)2×＝2.75.＋(4－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(1－1.5)2× (2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， ∴即为所求．或 1．求离散型随机变量X的方差的基本步骤 ↓ ↓ ↓ ↓ 2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． 1．(1)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.5 x y 若E(X)＝，则D(X)等于(　　) A.　　　　　 B. C. D. (2)已知X的分布列如下． X －1 0 1 P a ①求X2的分布列； ②计算