4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版)

4.2.4　随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点) 2．掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值．(重点) 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点) 1．通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养． 2．借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养. 某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 1．均值或数学期望 (1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)． (2)意义：它刻画了X的平均取值． (3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝ax＋b(a≠0)， 则E(Y)＝aE(x)＋b. 拓展：随机变量的均值公式与加权平均数的联系 加权平均数，假设随机试验进行了n次，根据X的概率分布，在n次试验中，x1出现了p1n次，x2出现了p2n次，…，xn出现了pnn次，故在n次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn.因此n次试验中，X出现的平均值等于＝E(X)． 故E(X)＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn. 2．两点分布、二项分布及超几何分布的均值 (1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝p. (2)若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np； (3)若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝. 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化． (　　) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平． (　　) (3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4. (　　) (4)随机变量X的均值E(X)＝. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．若随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则E(X)＝(　　) A．0　　　　　 B．－1 C．－ D．－ C　[E(X)＝－1×.故选C.]＝－＋＝－＋1×＋0× 3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________. 35　[E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.] 4．(一题两空)若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________；若随机变量Y～H(10,3,5)，则E(Y)＝________. .]＝，E(Y)＝＝　[E(X)＝np＝4×　 求离散型随机变量的数学期望 【例1】　(1)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　　) A．3　　　 B．4　　　 C．5 D．2 (2)(一题两空)某运动员投篮命中率为p＝0.6，则 ①投篮1次时命中次数X的数学期望为________； ②重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望为________． (1)A　(2)①0.6　②3　[(1)设白球x个，则取出的2个球中所含白球个数为ξ～H(7,2，x), E(ξ)＝，∴x＝3.故选A.＝ (2)①投篮1次，命中次数X的分布列如下表： X 0 1 P 0.4 0.6 则E(X)＝0.6. ②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.] 常见的三种分布的均值 1．设p为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E(X)＝p； (2)二项分布E(X)＝np. 2．超几何分布E(X)＝，其中X～H(N，n，M)． 熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度． 1．(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________． (2)设离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C (k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________. ·· (1)0.8　(2)100　[(1)因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. (2)由P(X＝k)＝C，·· 可知X～B＝100.]，∴E(X)＝300× 离散型随机变量均值的性质 【例2】　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则