浙江省诸暨市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题

诸暨市2020—2021学年第二学期期末考试试题 高二数学 注意：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式： 球的表面积公式 球的体积公式 其中 表示球的半径 柱体的体积公式 其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高 锥体的体积公式 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高 台体的体积公式 其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．已知集合 ， ，则 （ ▲ ） A． B． C． D． 2．已知 为虚数单位，复数 ，则 （ ▲ ） A． B． C． D． 3．已知空间直角坐标系中， 为坐标原点， 的坐标为 ，则（ ▲ ） A． 到原点 的距离是 B． 到平面 的距离是 C． 到平面 的距离是 D． 到平面 的距离是 4．以直线 经过的定点为圆心， 为半径的圆方程是（ ▲ ） A． B． C． D． 5．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ▲ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．将函数 的图象向右平移 个单位与函数 的图象重合，则 可以是（ ▲ ） A． B． C． D． 7．若函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围是（ ▲ ） A． B． C． D． 8．已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，过 作 的垂线分别交双曲线的左、右两支于 ， 两点（如右图）．若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ▲ ） A． B． C． D． 9．如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角正弦值的最小值为（ ▲ ） A． B． C． D． 10．已知正项数列 满足： ， ，设 ，则（ ▲ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题有7个小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分） 11．写出下列函数式的求导结果： ▲ ； ▲ ． 12．如图，所有棱长为 的正四棱锥 （顶点 的投影是底面正方形 的中心），则该几何体的体积是 ▲ ；该几何体三视图中的正视图面积是 ▲ ． 13．已知平面向量 ， ， 满足： ， ， ， ，则 ▲ ； 的取值范围是 ▲ ． 14．已知 ，函数 若 的值域为 ，则实数 ▲ ；若 在 上单调递增，则实数 ▲ ． 15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数 称为高斯函数，其中 表示不超过 的最大整 数，如 ， ．则点集 所表示的平面区域的面 积是 ▲ ． 16．已知 且 ，则 的最小值是 ▲ ． 17．已知函数 图象上恰好存在两个不同的点 关于 轴对称后在函数 的图象上，则实数 的取值范围是 ▲ ． 三、解答题（本大题有5个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题满分14分）已知函数 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 中， ， ，求 的面积． 19．（本题满分15分）已知数列 的前 项和 （ ），且 ，正项等比数列 满足： ， ． （Ⅰ）求数列 和 的通项公式； （Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 ． 20．（本题满分15分）如图，四棱锥 中， ， ， ， ， 为 中点． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若二面角 的余弦值为 ，求 直线 与平面 所成角的正弦值． 21．（本题满分15分）如图，椭圆 的离心率是 ，短轴长是 ，且椭圆 与抛物线 有一个相同的焦点 ， 为椭圆的左、右顶点．过 的直线 与椭圆相交于 两点，与抛物线 相交于 两点，点 为 的中点． （Ⅰ）求椭圆 与抛物线 的方程； （Ⅱ）记 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，求直线 在 轴上截距的范围． 22．（本题满分15分）已知函数 EMBED Equation.KSEE3 . （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）当a > 0时，证明： � EMBED Equati