第02讲 导数的运算-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第5章 导数 第02讲 导数的运算 课程标准 重难点 1. 能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数． 2.掌握函数的四则运算的求导公式 3.复合函数求导 1.符合函数求导 2.导数的四则运算 1．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝ex f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 2.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3) (g(x)≠0)． 3.复合函数导数的运算法则 概念：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝ ． 求导法则：一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ .即y对x的导数等于 对 的导数 与对 的导数的乘积． 4.常用结论 1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. 2. ′＝－ . 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 考法01 导数的运算 1．（2020·辉县市第二高级中学高三期中）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意 ，故选A． 2．（2020·黑龙江工农鹤岗一中高三期末（文））已知 ，则 （ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】C 【解析】函数 ，则 ， 令 代入上式可得 ，解得 .故选C 3．（2020·黑龙江道里哈尔滨三中高三模拟）已知函数 ， ， ， ，…，依此类推， （ ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】 ， ， ， ， ，…，由 ， 得 ，则 .故选:A. 4．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于(　　) A．26 B．29 C．215 D．212 【答案】D 【解析】∵f′(x)＝x′(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a1)′(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)′ ＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)， ∴f′(0)＝a1·a2·…·a8＝(a1a8)4＝84＝212. 【方法总结】 导数运算的葵花宝典 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 题组A 基础过关练 1．（2021·河北高三月考）已知函数 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，则 ，令 ，则 ，所以 .故选：A. 2．（2021·合肥市第六中学高二期中（文））已知函数 （ 是 的导函数），则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，故选：A 3．（2021·韩城市西庄中学高二期中（理））已知函数 (e) ，则 (e)=（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ．故选： . 4．（2021·广东高二期中）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A， ，错误； 对B， ，错误；C正确；对D， ，错误.故选：C. 5．（2021·广东茂名市·高三期中）下列结论正确的是（ ） A． B． C．若 ，则 D． 【答案】AD 【解析】 ，故A正确； ，故B错误