选修2-1 3.1.1 3.1.2 共面向量定理-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

3．1　空间向量及其运算 3．1.1　空间向量及其线性运算 3．1.2　共面向量定理 学习目标：1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，掌握空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)2.了解向量共面的含义，理解共面向量定理.3.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题． 1．空间向量 在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量． 2．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 定义(或法则) 加法 设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量就是a与b的和，记作a＋b，根据平面向量加法的平行四边形法则．平行四边形OACB的对角线OC对应的向量和 减法 与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量 空间向量的数乘 空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足： 大小：|λa|＝|λ||a|. 方向：当λ＞0时，λa与a方向相同； 当λ＜0时，λa与a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 3.共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线． 4．共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 5．共面向量 能平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 6．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb. [基础自测] 1．思考辨析 (1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小． (　　) (2)空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向． (　　) (3)将空间的所有单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点构成一个圆． (　　) (4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b. (　　) (5)已知四边形ABCD，O是空间任意一点，且，则四边形ABCD是平行四边形． (　　)＋＝＋ [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是________(填序号)． ①；－－ ②；－＋ ③；－－ ④.＋－ [解析]　①；＝－＝－－ ②；＝＋＝－＋ ③；≠＝－＝－＝－－ ④.≠＋＝＋＋＝＋＋＝＋－ [答案]　①② 3．有下列命题： ①平行于同一直线的向量是共线向量； ②平行于同一平面的向量是共面向量； ③平行向量一定是共面向量； ④共面向量一定是平行向量． 其中正确的命题有________． [解析]　“共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确． [答案]　①②③ 空间向量及有关概念 　下列四个命题： ①所有的单位向量都相等； ②方向相反的两个向量是相反向量； ③若a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>b； ④零向量没有方向． 其中不正确的命题的序号为________． [思路探究]　根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论． [解]　对于①：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故①错；对于②：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故②错；对于③：向量是不能比较大小的，故不正确；对于④：零向量有方向，只是没有确定的方向，故④错． [答案]　①②③④ [规律方法]　 1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决． 2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题． [跟踪训练] 1．下列命题中正确的个数是________． ①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|； ②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③同向且等长的有向线段表示同一向量； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． [解析]　①③④正确，②不正确． [答案]　3 空间向量的线性运算 　化简：()．－)－(－ [思路探究]　根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为减法运算． [解]　法一：将减法转化为加法进行化简． ∵，＋＝－ ∴(＋－＋)＝－)－(－ ＝＋＋＋＝＋＋＋ ＝＝0.＋ 法二：利用化简．＝－，＝－ (＋－－)＝－)－(－ ＝()－)＋(－ ＝＝0.＋ 法三：∵，－＝，－＝ ，－＝，－＝ ∴()－)－(－ ＝()＋－－)－(＋－－ ＝＝0.－＋＋－＋－－ [规律方法]　 1．计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键． 2．计算三个或多个空间向量的和或差时，要注意以下几点： (1)三角