江苏省丹阳高级中学苏教版高中数学选修2-1学案（无答案）：3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

江苏省丹阳高级中学高二数学教案 选修2－1第3章 空间向量与立体几何(第8课时) 3.2.1直线的方向向量与平面的法向量 【学习目标】 1．掌握平面的法向量的概念及性质,理解平面的向量表示,掌握直线与平面垂直的判定定理,能够由条件证明直线与平面垂直． 2．理解掌握两个平面平行或垂直的条件,能够利用向量的平行或垂直的条件证明两个平面平行或垂直． 【学习重点】 平面法向量的概念． 【学习难点】 平面法向量的理解及灵活应用． 【学习过程】 一．知识要点 1．直线的方向向量 的向量叫做直线l的方向向量． 2．平面法向量的概念 ，那么称向量 垂直于平面α，记作⊥α．此时，我们把向量 叫做平面α的法向量． 说明： ⑴平面的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量； ⑵一个平面的所有法向量平行． 3．平面法向量的表示式 A是空间任一点， 为空间任一非零向量，则 · = 0表示通过空间内一点A并且与一个向量 垂直的平面． 说明： ⑴满足 · = 0的点M的轨迹是一个与向量 垂直的平面． ⑵若 ， 分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合 ∥； α⊥β ⊥ · = 0． 二．基础训练 1．已知A(1，0，1)，B(0，1，1)，C(1，1，0），则平面ABC的一个法向量是 ； 这个法向量的单位向量是 ． 2．平面α的一个法向量为 = (1，2，1)，平面β的一个法向量为 = −(3，4，2)，则平面α与平面 β的位置关系是 ． 3．已知向量 = (1，1，−1)，与 平行的单位向量是 ． 4．原点O在平面 α上的射影为P(2，9，−6)，则平面α的方程为 ． 三．例题讲解 例1．如图，点E为矩形ABCD所在平面外一点，且AE⊥平面ABCD．已知△EAD是等腰三角形，F，G分别是AB，EC的中点． 求证： 是平面ECD的法向量．D C B A E G F 2．已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂