选修2-1 3.1.3 3.1.4 空间向量的坐标表示-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

3．1.3　空间向量基本定理 3．1.4　空间向量的坐标表示 学习目标：1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行．(重点)3.基向量的选取及应用．(易错点) 1．空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3. 2．基底、基向量 在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量． 3．正交基底、单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示． 4．空间向量基本定理的推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得.＋z＋＝x 5．空间向量的坐标 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标． 6．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量的加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量的减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 向量平行 a∥b(a≠0)⇔ b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R [基础自测] 1．已知向量a＝(－1,0,2)，2a＋b＝(0,1,3)，则b＝________. [解析]　b＝(2a＋b)－2a＝(0,1,3)－2(－1,0,2)＝(2,1，－1)． [答案]　(2,1，－1) 2．已知能否作为空间的一个基底？并说明理由．＝e1＋e2－e3，试判断＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋2e2－e3，是空间的一个基底，且 [解]　能作为空间的一个基底，理由如下： 假设，＋μ＝λ共面，则存在实数λ，μ使得，， ∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3. ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无实数解． ∴不共面．，， ∴能作为空间的一个基底. 基底的判断 　(1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是________(填序号)． ①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}． (2)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量＝ke1＋3e2＋2e3不能作为空间的一组基底，则k＝________.＝e1－e2＋2e3，＝2e1＋e2＋e3， [思路探究]　(1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)共面，利用共面向量定理求解．，， [解析]　(1)若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a，b，c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底． (2)因为共面．，，不能作为空间向量的一组基底，故，， 由共面向量定理可知，存在实数x，y，使，＋y＝x 即ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)． 故，k＝5.，y＝－解得x＝ [答案]　(1)③　(2)5 [规律方法]　基底的判断 判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断. 用基底表示空间向量 　如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设. ＝c，试用向量a，b，c表示向量＝b，＝a， [思路探究]　 → → → →→ [解]　，＝，∵－＝ ∴(b＋c)，)＝＋(×＝ ＋＝＋＝ ＝)＋(×＋)＝－(＋ ＝(b＋c)，a＋ ∴a，(b＋c)＝－a－(b＋c)－＝ 即a.＝－ [规律方法]　用基底表示向量的技巧 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标：用确定的基底(或已知基底(表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变换、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表