选修2-1 2.2.2 椭圆的几何性质-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

2．2.2　椭圆的几何性质 学习目标：1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．(难点)3.会用椭圆的方程及性质处理一些实际问题．(重点、难点) 1．椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1(a>b>0)＋ ＝1(a>b>0)＋ 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a) 轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b (±c,0) 焦点在x轴上 焦点在y轴上焦点 焦距 F1F2＝2c 对称轴 x轴，y轴 对称中心 (0,0) 离心率 e＝(0＜e＜1) 2.离心率 (1)定义：焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率． (2)范围：e＝∈(0,1)． (3)作用： 当椭圆的离心率越接近于1时，则椭圆越扁； 当椭圆的离心率越接近于0时，则椭圆越接近于圆． [基础自测] 1．思考辨析 (1)椭圆＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a. (　　)＋ (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c. (　　) (3)椭圆的长轴，短轴就是x轴和y轴． (　　) (4)椭圆＋y2＝1中，变量x的范围是[－2,2]． (　　) [解析]　(1)＝1(a>b>0)的长轴长等于2a，故错误；＋ (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，故正确； (3)椭圆的长轴和短轴是线段，而不是直线，故错误； (4)椭圆]，故错误．，，故x的范围是[－＋y2＝1中，a＝ [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．填空： (1)椭圆＝1的离心率是________．＋ (2)两个椭圆＝1中，更接近于圆的是________．＋＋y2＝1和 (3)椭圆，则实数a的值为________．＝1(a>2)的离心率e＝＋ [解析]　(1).＝1，所以离心率e＝＝1中，a＝2，c＝＋ (2)椭圆＝1更接近于圆．＋.因为e1>e2，所以椭圆＝1的离心率e2＝＋，椭圆＋y2＝1的离心率e1＝ (3)因为a>2，所以e＝.，解得a＝2＝ [答案]　(1)＝1　(3)2＋　(2) 由椭圆的方程求其几何性质 　(1)椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离为________． (2)求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率． [思路探究]　分清椭圆的焦点所在的轴，确定a，b后研究性质． [解]　(1)把椭圆2x2＋3y2＝12化为标准方程，得.，故2c＝2＝1，易知a2＝6，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝2，∴c＝＋ [答案]　2 (2)椭圆的方程可化为 x2＋＝1，∴a＝9，b＝1， ∴c＝，＝4＝ ∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2. ∵椭圆的焦点在y轴上， 故其焦点坐标为F1(0，－4)，)，F2(0,4 顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)， B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝.＝ [规律方法]　研究椭圆几何性质的方法 求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质. [跟踪训练] 1．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标． [解]　椭圆方程可化为＝1(m>0)，＋ 因为m－.＝，c＝，所以焦点在x轴上，即a2＝m，b2＝>0，所以m>＝ 由e＝，所以m＝1.＝＝，得e＝ 所以椭圆的标准方程为x2＋＝1. 所以a＝1，b＝.，B2；四个顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，F2，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1，c＝ 由椭圆的几何性质求方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是； (2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. [思路探究]　→→→ [解]　(1)设椭圆方程为＝1(a>b>0)．由已知得2a＝6，＋＝1(a>b>0)或＋ ∴a＝3. 又e＝，∴c＝2.＝ ∴b2＝a2－c2＝9－4＝5. ∴椭圆的标准方程为＝1.＋＝1或＋ (2)由题意知焦点在x轴上， 故可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，且两焦点为F′(－3，0)，F(3,0)．＋ 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18. ∴椭圆的标准方程为＝1.＋ [规律方法]　由椭圆的几何性质求方程的方法步骤 (1(利用椭圆的