选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

2.2　椭圆 2．2.1　椭圆的标准方程 学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导．(难点)2.掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点、易混点)3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆． 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1＋ (a＞b＞0) ＝1＋ (a＞b＞0) 图象 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的 关系 a2＝b2＋c2 [基础自测] 　思考辨析 (1)椭圆的标准方程中，“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点关于原点对称． (　　) (2)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2. (　　) (3)方程＝1(m＞0，n＞0)是椭圆的方程． (　　)＋ (4)椭圆＝1的焦点在x轴上． (　　)＋ (5)设椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，则PF1＋PF2＝2. (　　) (6)椭圆＝1的焦点坐标是(±2,0)． (　　)＋ [解析]　(1)(2)明显正确； (3)＝1中，当m＝n>0时方程表示圆，故错误；＋ (4)方程y2的分母大于x2的分母，故椭圆的焦点在y轴上，故错误； (5)方程＋y2＝1中，a＝2，所以PF1＋PF2＝4.所以错误； (6)因为a2－b2＝12－8＝4，所以c＝2，即焦点坐标为(±2，0)，故正确． [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ 椭圆标准方程的求法 　求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆的焦距为2，且过点P(－，0)； (2)两个焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且经过点P. [思路探究]　求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a，b的值，若不能确定焦点位置，则要根据焦点在x轴上还是y轴上分类讨论． [解]　(1)①若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为＝1(a>b>0)．＋ ∵c＝1，点P(－，0)在椭圆上， ∴＝1.＋故椭圆的标准方程为解得 ②若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＝1(a>b>0)，＋ 则有＝1.＋故椭圆的标准方程为解得 故所求椭圆的方程是＝1.＋＝1或＋ (2)法一：∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)．＋ 由椭圆的定义知 2a＝，＝2＋ ∴a＝.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6， ∴所求椭圆的标准方程为＝1.＋ 法二：设所求椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，＋ 依题意得 解得＝1.＋∴所求椭圆的标准方程为 法三：设椭圆的标准方程为＝1(a>2)，＋ ∵点＝1，＋在椭圆上，∴ 整理得2a4－25a2＋50＝0， 解得a2＝(舍)，a2＝10， ∴所求椭圆的标准方程为＝1.＋ [规律方法]　用待定系数法求椭圆的标准方程，一般解题步骤可归纳为 [跟踪训练] 1．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B. [解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1.＋＝1，a2＝25，又c＝4，b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，因为椭圆经过点(5,0)，所以＋ (2)法一：①若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为(舍去)．解得＝1(a＞b＞0)，把A，B两点坐标代入得＋ ②若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为解得＝1(a＞b＞0)把A，B两点的坐标代入得＋ 故椭圆的标准方程为＋x2＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. 法二：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)， 把A、B两点坐标代入得 解得＋x2＝1.故所求椭圆的标准方程为 椭圆标准方程的识别 　已知方程x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围； (2)若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围． [思路探究]　(1)已知方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程． (2)对于椭圆方程＝1(m>0，n>0，m≠n)可由m，n的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．＋ [解]　将椭圆方程x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为＝1(0≤α≤2π)．＋ (1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆， 则>0，即>－ 所以.π<α<π，即α的取值范围是 (2)若方程表示焦点在y轴上的椭圆， 则－>0，即> 所以.，即α的取值范围是<α< [规律方法]　 1．椭圆标准方程形式：左边是“平方＋平方”，分母不等，右边为“1”． 2．焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大，因此由椭圆的标