必修5 2.2.3 等差数列的前n项和-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

2.2.3　等差数列的前n项和 学习目标：1.掌握等差数列的前n项和公式，并能运用公式解决一些简单问题．(重点)2.体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系．(难点)3.等差数列前n项和的最值的判断．(易错点) 1．等差数列的前n项和公式 已知条件 首项a1和末项an 首项a1和公差d 选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋ 推导等差数列的前n项和的方法是倒序相加法． 2．等差数列前n项和常用性质 (1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列． (2)S奇表示奇数项之和，S偶表示偶数项之和，公差为d. ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd， .＝ ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，.＝ (3)前n项Sn是关于n的二次函数，不具有常数项． ①当a1>0，d<0时，Sn有最大值． ②当a1<0，d>0时，Sn有最小值． [基础自测] 1．在等差数列{an}中，a1＝1，a30＝30，则S30＝________. [解析]　S30＝＝465.＝ [答案]　465 2．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝________. [解析]　∵a1＝1，a3＋a5＝2a4＝14， ∴a4＝7，∴d＝2， ∴Sn＝na1＋×2＝100， ∴n＝10. [答案]　10 3．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝________. [解析]　设a3＋a6＋a9＝x，则45,39，x成等差数列，∴45＋x＝39×2，∴x＝33. [答案]　33 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2－10n，则当n＝________时，Sn最小． [解析]　Sn＝n2－10n＝(n－5)2－25，∴当n＝5时，Sn最小，为－25. [答案]　5 与等差数列Sn有关的基本量的计算 　在等差数列{an}中， (1)a1＝，Sn＝－5，求n和d；，an＝－ (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d； (3)d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. [思路探究]　(1)(2)利用Sn＝求解； (3)利用Sn＝na1＋d求解． [解]　(1)由题意，得 Sn＝＝－5，＝ 解得n＝15. 又a15＝，＋(15－1)d＝－ ∴d＝－. (2)由已知，得S8＝＝172，＝ 解得a8＝39. 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39， ∴d＝5. (3)由 得 解方程组得或 [规律方法]　等差数列的基本计算方法与技巧 (1)公式Sn＝中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个可以求另外的两个量.简称“知三求二”. 中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式Sn＝ (2)在进行等差数列基本量的互求时，要注意求和公式和通项公式的恰当选取，注意方程思想及等差数列性质的应用. [跟踪训练] 1．已知等差数列{an}中， (1)a1＝，Sm＝－15，求m及am；，d＝－ (2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d； (3)S5＝24，求a2＋a4. [解]　(1)Sm＝m·＝－15，·＋ 整理，得m2－7m－60＝0，解得m＝12或m＝－5(舍去)，∴am＝a12＝＝－4.＋(12－1)× (2)由Sn＝＝ ＝－1 022，得n＝4. 又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171. (3)法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋，d＝24，得5a1＋10d＝24，即a1＋2d＝ ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×.＝ 法二：由S5＝.＝24，得a1＋a5＝ ∴a2＋a4＝a1＋a5＝. 等差数列前n项和的最值 　在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求数列{an}的前多少项和最大？ [思路探究]　 [解]　法一：由 得解得d＝－2. 则Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169， ∴数列{an}的前13项和最大． 法二：同法一解得d＝－2，∴an＝25＋(－2)(n－1)＝－2n＋27. 令an>0，即－2n＋27>0，解得n<13.5， 即数列{an}的前13项均为正数，第13项以后均为负数， ∴数列{an}的前13项和最大． 法三：∵a1＝25，S9＝S17，∴公差d<0. 又Sn＝na1＋，则Sn＝an2＋bn(a<0)，其图象是二次函数f(x)＝ax2＋bx图象上一群孤立的点．，b＝a1－n，设a＝n2＋d＝ ∵S9＝S17，即f(9)＝f(17)， ∴二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝＝13，且开口向下