必修5 2.1 数列-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

2．1　数列 学习目标：1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点)2.理解数列的通项公式及简单应用．(重点)3.数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点) 1．数列的概念 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 2．数列的表示方法 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项． 3．数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示． [基础自测] 1．思考辨析 (1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}． (　　) (2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列． (　　) (3)数列. (　　)的第5项为 (4)数列0,2,4,6，…是无穷数列． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________． [解析]　1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是an＝2n－1，n∈N*. [答案]　an＝2n－1，n∈N* 3．若数列{an}的通项公式为an＝3n－2，则a5＝________. [解析]　∵an＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13. [答案]　13 根据数列的前n项写出通项公式 　写出下列数列的一个通项公式． (1)，…；，8，，2， (2)9,99,999,9 999，…； (3)，…；，，， (4)－，….，，－， [思路探究]　―→―→ ―→ [解]　(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：(n∈N*)．，…，所以它的一个通项公式为an＝，，，， (2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N*)． (3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝(n∈N*)． (4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n(n∈N*)． [规律方法]　用观察法求数列的通项公式的一般规律 (1)一般数列通项公式的求法 (2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题． (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． [跟踪训练] 1．写出下列数列的一个通项公式． (1)3,5,9,17,33，…； (2)，…；，，，， (3)，….，－，，－，－1， [解]　(1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，…. 所以an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以an＝. (3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为.，所以an＝(－1)n＋1，－ 通项公式的简单应用 　已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n. (1)写出数列的前3项； (2)判断45是否为{an}中的项？3是否为{an}中的项？ [思路探究]　(1)令n＝1,2,3求解即可； (2)令an＝45或an＝3解n便可． [解]　(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为：1,6,15. (2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0， 解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是数列{an}中的第5项． 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0， 解得n＝－1或n＝，即方程没有正整数解， 故3不是数列中的项． [规律方法]　 1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项． 2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下： (1)将所给的数代入通项公式中； (2)