必修5 3.4.2 基本不等式的应用-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

3.4.2　基本不等式的应用 学习目标：1.掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题． 　基本不等式与最值 已知a≥0，b≥0，在运用基本不等式时，要注意： (1)和a＋b一定时，积ab有最大值； (2)积ab一定时，和a＋b有最小值； (3)取等号的条件 . [基础自测] 1．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为________． [解析]　∵x，y∈(0，＋∞)，∴xy≤2＝400， 当且仅当x＝y＝20时等号成立． [答案]　400 2．把总长为16 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. [解析]　设一边长为x m，则另一边长为(8－x)m，则面积S＝x(8－x)≤2＝16， 当且仅当x＝8－x，即x＝4时等号成立． [答案]　16 利用基本不等式求条件最值 　(1)已知x>0，y>0，且＝1，则x＋y的最小值是________．＋ (2)若x＋2y＝1，且x>0，y>0，则的最小值为________．＋ [思路探究]　注意条件“＝1”及“x＋2y＝1”的作用．＋ [解]　(1)∵＝1，x>0，y>0，＋ ∴x＋y＝(x＋y)·＋＝10＋ ≥10＋2 ＝16. 当且仅当，即x＝4，y＝12时等号成立．＝ (2)∵x＋2y＝1，x>0，y>0， ∴(x＋2y)＝＋ ＝8＋2＋＝18.≥10＋2＋ 当且仅当时等号成立．，y＝，即x＝＝ [答案]　(1)16　(2)18 [规律方法]　　　解决含有两个变量的代数式的最值时，常用“变量”替换，“1”的替换，构造不等式求解. [跟踪训练] 1．(1)已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________． (2)已知点M(a，b)在直线x＋y＝1上，则的最小值为________． [解析]　(1)法一：由ab＝a＋b＋3，得b＝. 由b>0，得>0.∵a>0，∴a>1. ∴ab＝a·＝ ＝ ＝(a－1)＋＋5＝9.＋5≥2 当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号，此时b＝3. ∴ab的取值范围是[9，＋∞)． 法二：由于a，b为正数，∴a＋b≥2， ∴ab＝a＋b＋3≥2≥3，故ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，取等号．－3≥0，∴)2－2＋3，即( ∴ab的取值范围是[9，＋∞)． (2)因为点M(a，b)在直线x＋y＝1上，所以a＋b＝1，因为a2＋b2≥，＝ 当且仅当a＝b＝时等号成立， 所以，＝≥ 所以.的最小值为 [答案]　(1)[9，＋∞)　(2) 利用基本不等式解实际应用题 　某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) [思路探究]　根据题目列函数关系式，利用基本不等式求最值并确定取得最值的条件，得出结论． [解]　设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为.＝ ∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋.＝560＋48 当x＋取最小值时，y有最小值． ∵x>0，∴x＋＝30，≥2 当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立． 所以当x＝15时，y有最小值2 000元． 因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少． [规律方法]　在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： （1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； （2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际背景写出答案. [跟踪训练] 2．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元．且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元． (1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ [解]　(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x) ＝200＋x(x＋1)·16(万元)． ∴y＝4 ＝16(－2x2＋23x－50)． (2)年平均利润为 ＝16 ＝16. 又x∈N*， ∴x＋＝10，≥2 当且仅当x＝5时，等号成立， 此时≤16×(23－20)＝48. ∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元. 形如y＝x＋的最值问题 [探究问题] 　可以用基本不